Hans Walser, [20251222]

Wurzel-5-Dreieck

1 Worum es geht

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 1, 2 und √5 erscheint der Goldene Schnitt.

2 Basisfigur

Zum rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a = 1, b = 2 und c = √5 zeichnen wir den Inkreis und die drei Ankreise (Abb. 1). Es sind auch die Berührungspunkte dieser Kreise mit den allenfalls verlängerten Dreiecksseiten eingezeichnet.

Abb. 1: Basisfigur

Das kartesische Koordinatensystem wählen wir so, dass A(2, 0), B(0, 1) und C(0, 0).

Für den Goldenen Schnitt schreiben wir:

Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618

Stehen zwei Strecken im Längenverhältnis des Goldenen Schnittes, zeichnen wir die längere Strecke in Rot (Bezeichnung Major) und die kürzere Strecke in Blau (Bezeichnung Minor). Der Major hat also die Φ-fache Länge des Minors.

Für den Inkreis und die drei Ankreise gelten die Daten der Tabelle 1.

Kreis	Mittelpunkt	Radius
Inkreis	(1/Φ^2, 1/Φ^2)	1/Φ^2
Ankreis an Seite a	(–1/Φ, 1/Φ)	1/Φ
Ankreis an Seite b	(Φ, – Φ)	Φ
Ankreis an Seite c	(Φ^2, Φ^2)	Φ^2

Tab. 1: Daten der vier Kreise

Die beiden in der Abbildung 2 eingezeichneten Rechtecke haben je den Flächeninhalt 1. Die Seitenverhältnisse der beiden Rechtecke sind 1: Φ² beziehungsweise Φ⁴:1.

Abb. 2: Rechtecke mit Flächeninhalt 1

3 Beispiele zum Goldenen Schnitt

In den folgenden Beispielen ist das Koordinatensystem nicht mehr eingezeichnet.

3.1 Inkreis

Abb. 3: Berührungspunkt des Inkreises

Abb. 4: Winkelhalbierende

Abb. 5: Winkelhalbierende

3.2 Ankreise

Abb. 6: Berührungspunkt des Ankreises an Seite a

Abb. 7: Berührungspunkt des Ankreises an Seite b

Abb. 8: Berührungspunkt des Ankreises an Seite c

Abb. 9: Die beiden großen Ankreise

Abb.10: Die beiden großen Ankreise

4 Inkreis und Ankreise

Abb. 11: Major-Minor-Major

Abb. 12: Minor-Major-Minor

Abb. 13: Ankreis und Inkreis

5 Andere Verhältnisse

In den folgenden Beispielen sind die Längenverhältnisse nicht mehr im Goldenen Schnitt, hängen aber mit dem Goldenen Schnitt zusammen.

In der Abbildung 14 ist magenta:blau = Φ²:1 ≈ 2.618:1.

Abb. 14: Quadrat des Goldenen Schnittes

In der Abbildung 15 ist orange:blau = Φ³:1 ≈ 4.236:1.

Abb. 15: Dritte Potenz des Goldenen Schnittes

In der Abbildung 16 ist ebenfalls orange:blau = Φ³:1 ≈ 4.236:1.

Abb. 16: Dritte Potenz des Goldenen Schnittes

In der Abbildung 17 ist blau:scharlachrot:blau = 1:2Φ:1 ≈ 1:3.236:1.

Abb. 17: Doppelter Goldener Schnitt

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7

Weblinks

Hans Walser: Wurzel-5-Dreieck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wurzel-5-Dreieck/Wurzel-5-Dreieck.html

Hans Walser: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html