Hans Walser, [20251226]

Antiprismen

1 Worum es geht

Verallgemeinerung der Idee der Antiprismen

2 Konstruktion

Wir beginnen mit zwei regelmäßigen n-Ecken, die wir um den Winkel π/n gegeneinander verdreht übereinander anordnen (Abb. 1 für n = 5). Für rechnerische Zwecke setzen wir den Umkreisradius der beiden n-Ecke auf 1.

Abb. 1: Boden- und Deckplatte

Den Abstand zwischen den beiden Platten wählen wir so, dass wir die Mantelfläche mit gleichseitigen Dreiecken auffüllen können (Abb. 2).

Abb. 2: Mantel aus gleichseitigen Dreiecken

So entsteht ein Antiprisma (Abb. 3).

Abb. 3: Antiprisma in Rotation

Der Mantel besteht aus einer Folge von 2n gleichseitigen Dreiecken (Abb. 4).

Abb. 4: Mantel

3 Höhe des Antiprismas

Für die Höhe h des Antiprismas erhalten wir mit Pythagoras zunächst:

Dies kann umgeformt werden zu:

4 Auflistung

Die Abbildung 5 zeigt die Antiprismen für n von 2 bis 20.

Abb. 5: Antiprismen

Im Folgenden einige Einzelfälle, aufgelistet nach der Eckenzahl von Grund-und Deckfläche.

4.1 n = 1

Für n = 1 sind Grund- und Deckfläche ein Punkt.

4.2 n = 2

Für n = 2 bestehen Grund- und Deckfläche aus je einer Strecke. Die beiden Strecken sind orthogonal. Das zugehörige Antiprisma ist das regelmäßige Tetraeder (Abb. 6 und Abb. 7).

Abb. 6: Tetraeder

Abb. 7: Tetraeder rotierend

4.3 n = 3

Für n = 3 ergibt sich das Oktaeder (Abb. 8 und Abb. 9).

Abb. 8: Oktaeder

Abb. 9: Oktaeder rotierend

4.4 n = 4

Bei n = 4 ergeben sich nicht mehr ausschließlich gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen (Abb. 10 und Abb. 11).

Abb. 10: Quadrat als Grund- und Deckfläche

Abb. 11: Rotierend

Werden auf den Quadratseiten oben und unten je eine aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzte Pyramide angesetzt, ergibt sich ein sogenanntes Deltaeder, nämlich das zweifach erweiterte Antiprisma mit 16 gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen. Andere Bezeichnungen: Verdreht verlängerte Quadratbipyramide, verdreht verlängerte Bibpyramide, Johnson Körper J₁₇.

4.5 n = 5

Der Fall n = 5 wurde in den Abbildungen 3 und 4 illustriert. Durch Aufsetzen von fünfseitigen Pyramiden aus gleichseitigen Dreiecken oben und unten ergibt sich das regelmäßige Ikosaeder.

4.6 n = 6

Die Abbildungen 12 und 13 zeigen die Situation für n = 6.

Abb. 12: Regelmäßiges Sechsecke als Grund- und Deckfläche

Abb. 13: Rotierend

Die Sechsecke können in je sechs gleichseitige Dreiecke zerlegt werden. Dann ergibt sich ein (nicht streng konvexes) Deltaeder mit 24 gleichseitigen Dreiecken.

5 Kleine Verdrehung der Deckfläche

Wir verdrehen die Deckfläche nach links oder nach rechts bis ein Prisma entsteht. Der Körper bleibt bei diesem Prozess konvex. Die Dreiecke bleiben nicht gleichseitig, sondern nehmen andere Formen an. In den Endlagen des Prismas besteht der Mantel aus Rechtecken, welche aus je zwei Dreiecken zusammengesetzt sind.

Die Abbildung 14 zeigt das Vorgehen für n = 5.

Abb. 14: Kleine Verdrehung

Das Tetraeder (n = 2) wird in den Endlagen volumenlos (Abb. 15).

Abb. 15: Deformation des Tetraeders

Für n = 3 wird aus dem Oktaeder ein Dreikantprisma (Abb. 16).

Abb. 16: Oktaeder und Dreikantprisma

Für n = 4 erhalten wir einen Quader (Abb. 17).

Abb. 17: Deformation zum Quader

6 Überdrehen der Deckfläche

Wir drehen die Deckfläche vollständig herum. Dies führt zu Selbstdurchdringungen.

Für n = 2 ergibt sich in der Regel ein unregelmäßiges Tetraeder, in Sonderfällen ein doppelt überlagertes Rechteck (Abb. 18).

Abb. 18: Überdrehen des Tetraeders

Die Abbildung 19 zeigt das Überdrehen des Oktaeders.

Abb. 19: Überdrehen des Oktaeders

Wir entfernen Grund- und Deckfläche und schauen die Sache von oben an (Abb. 20).

Abb. 20: Durchsicht von oben

Für n = 4n erhalten wir entsprechend die Abbildungen 21 und 22.

Abb. 21: n = 4

Abb. 22: Durchsicht von oben

Für n = 5 ergeben sich analog die Abbildungen 23 und 24.

Abb. 23: n = 5

Abb. 24: Durchsicht

Für n = 6 ergeben sich die Abbildungen 25 und 26.

Abb. 25: n = 6

Abb. 26: Durchsicht

Für n = 7 ergeben sich die Abbildungen 27 und 28.

Abb. 27: n = 7

Abb. 28: Durchsicht

7 Anti-anti-Prismen

Fallunterscheidung nach Parität.

7.1 Ungerade Eckenzahl bei Grund- und Deckfläche

7.1.1 Konstruktion

Wir beschreiben die Grundidee exemplarisch für n = 5.

Grundfläche und Deckfläche sind zwei parallel übereinanderliegende regelmäßige Fünfecke (Abb. 29.1).

Abb. 29.1: Grund- und Deckfläche

Wir setzen nun ein gleichschenkliges Dreieck ein, das seine Basis auf einer Kante der Grundfläche hat und seine Spitze auf der davon am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche (Abb. 29.2).

Abb. 29.2: Einsetzen eines gleichschenkligen Dreiecks

Ebenso setzen wir an den übrigen vier Kanten der Grundfläche je ein gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze auf der davon am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche ein (Abb. 29.3).

Abb. 29.3: Gleichschenklige Dreiecke von unten nach oben

Entsprechend setzen wir nun an den fünf Kanten der Deckfläche gleichschenklige Dreiecke in, welche von oben nach unten verlaufen (Abb. 29.4). Dies ist das Anti-anti-Prisma für n = 5.

Abb. 29.4: Anti-anti-Prisma

7.1.2 Beispiele

Die Abbildung 30 zeigt das Anti-anti-Prisma für n = 3. Es ist ein (unregelmäßiges) Oktaeder mit Selbstdurchdringung.

Abb. 30: n = 3

Abb. 31: n = 5

Abb. 32: n = 7

7.2 Gerade Eckenzahl bei Grund- und Deckfläche

7.2.1 Konstruktion

Wir beschreiben die Grundidee exemplarisch für n = 4.

Grundfläche und Deckfläche sind wie beim normalen Antiprisma um den Winkel π/n gegeneinander verdreht (Abb. 33.1).

Abb. 33.1: Grund- und Deckfläche verdreht

Die restliche Konstruktion verläuft gleich wie beim Fall mit ungerader Eckenzahl. Wir setzen ein gleichschenkliges Dreieck ein, das seine Basis auf einer Kante der Grundfläche hat und seine Spitze auf der davon am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche (Abb. 33.2).

Abb. 33.2: Einsetzen eines gleichschenkligen Dreiecks

Ebenso setzen wir an den übrigen drei Kanten der Grundfläche je ein gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze auf der davon am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche ein (Abb. 33.3).

Abb. 33.3: Gleichschenklige Dreiecke von unten nach oben

Entsprechend setzen wir nun an den vier Kanten der Deckfläche gleichschenklige Dreiecke in, welche von oben nach unten verlaufen (Abb. 33.4). Dies ist das Anti-anti-Prisma für n = 4.

Abb. 33.4: Anti-anti-Prisma

7.2.2 Beispiele

Für n = 2 erhalten wir einmal mehr das Tetraeder (Abb. 34). Man kann sich überlegen, worin der Unterschied zum Tetraeder der Abbildungen 6 und 7 besteht.

Abb. 34: n = 2. Tetraeder

Abb. 35: n = 4

Abb. 36: n = 6

8 Mantel aus hyperbolischen Paraboloiden

8.1 Konstruktion

Wir beschreiben die Konstruktion für den Fall n = 5.

Bei einem Antiprisma entfernen wir die Seitendreiecke, behalten aber die schrägen Kanten zunächst bei (Abb. 37.1).

Abb. 37.1: Antiprisma ohne Seitendreiecke

Die schrägen Kanten bilden eine Zick-zack-Linie. Wir entfernen nun alle Zacks, behalten aber die Zicks (Abb. 37.2). Es wird also jede zweite schräge Kante entfernt.

Abb. 37.2. Jede zweite schräge Kante wird entfernt

Die schrägen Kanten bilden zusammen mit den Kanten von Grund- und Deckfläche Vierecke, welche aber nicht eben sind.

Wir passen in diese Vierecke hyperbolische Paraboloide ein (Abb. 37.3).

Abb. 37.3: Hyperbolische Paraboloide einpassen

Die Abbildung 37.4 zeigt die Durchsicht von oben.

Abb. 37.4: Durchsicht von oben

8.2 Verdrehung der Deckfläche

In der Abbildung 38 werden Grund- und Deckfläche gegeneinander verdreht.

Abb. 380: Verdrehung von Grund- und Deckfläche

8.3 Beispiele

8.3.1 n = 2

Für n = 2 ergibt sich nur ein hyperbolisches Paraboloid (Abb. 39).

Abb. 39.1: Hyperbolisches Paraboloid

Abb. 39.2: Sicht von oben

Abb. 39.3: Sicht von verschiedenen Seiten

Die Abbildungen 39.4 und 39.5 zeigen die relative Verdrehung von Grund- und Deckkante.

Abb. 39.4: Grund- und Deckkante werden relativ zueinander verdreht

Abb. 39.5: Sicht von oben

8.3.2 n = 3

Abb. 40.1: Ansicht

Das Loch bei der Durchsicht (Abb. 40.2) ist nicht das Reuleaux-Dreieck, da die Profilkurven Hyperbeln sind.

Abb. 40.2: Durchsicht

Abb. 40.3: Sicht von allen Seiten

Abb. 40.4: Relative Verdrehung

Abb. 40.5: Durchsicht

8.3.3 n = 4

Abb. 41.1: Ansicht

Abb. 41.2: Durchsicht

Abb. 41.3: Sicht von allen Seiten

Abb. 41.4: Relative Verdrehung

Abb. 41.5: Durchsicht

Weblinks

Hans Walser: Antiprismen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen/Antiprismen.htm

Hans Walser: Antiprismen im Ikosaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen_im_Ikosaeder/Antiprismen_im_Ikosaeder.html