Hans Walser, [20251118], [20251228]

Antiprismen im Ikosaeder

1 Kantenmodell des Ikosaeders

Die Abbildung 1 zeigt ein Kantenmodell des regelmäßigen Ikosaeders.

Abb. 1: Ikosaeder

2 Eckenständige Darstellung

Es ist eckenständig dargestellt, das heißt es steht in einem labilen Gleichgewicht auf einer Ecke (Abb. 2 mit Koordinatenbox).

Abb. 2: Eckenständige Darstellung in der Koordinatenbox

3 Antiprisma

Durch Weglassen der oberen und der unteren fünfseitigen Pyramide entsteht ein Antiprisma. Zu Orientierungszwecken wurden zunächst die oberste und die unterste Ikosaederecke in der Zeichnung beibehalten (Abb. 3).

Abb. 3: Weglassen der Pyramiden

Die Abbildung 4 zeigt das Antiprisma.

Abb. 4: Antiprisma

Je zwei diametrale Eckpunkte des Ikosaeders legen ein solches Antiprisma fest. Da das Ikosaeder zwölf Eckpunkte hat, gibt es im Ikosaeder sechs solche Antiprismen.

Die Antiprismen haben eine fünfteilige Drehsymmetrie (Abb. 5). Die Drehachse geht durch die Spitzen der beiden weggelassenen Pyramiden.

Abb. 5: Rotation des Antiprismas

Das Antiprisma ist gleichseitig. Die Grund- und die Deckfläche sind regelmäßige Fünfecke, die zehn Seitenflächen gleichseitige Dreiecke.

4 Seitenständige Darstellung

Die Abbildung 6 zeigt eine seitenständige Darstellung des Ikosaeders. Das Ikosaeder steht in einem stabilen Gleichgewicht auf einer Seitenfläche.

Abb. 6: Seitenständige Darstellung

Die Abbildung 7 illustriert die seitenständige Darstellung in der Koordinatenbox.

Abb. 7: Seitenständige Darstellung in der Koordinatenbox

5 Ein zweites Antiprisma

In der Abbildung 8 sind zusätzlich die Diagonalen des Ikosaeders eingezeichnet, welche jeweils von einer Ecken zur übernächsten Ecke verlaufen. Diese Diagonalen haben gegenüber den Kanten die Länge Φ. Dabei ist Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 der Goldene Schnitt.

Abb. 8: Diagonalen im Goldenen Schnitt

Bemerkung: Es gibt noch weitere Diagonalen im Ikosaeder, nämlich solche , welche von einer Ecke zur überübernächsten Ecke (also zur diametralen Ecke) verlaufen. Diese sind länger, ihre Länge gegenüber den Kanten ist ≈ 1.902.

Wir wählen nun das Grund- und das Deckdreieck des Ikosaeders aus (Abb. 9).

Abb. 9: Grund- und Deckdreieck

Mit Hilfe von sechs Diagonalen können wir zu einem Antiprisma ergänzen (Abb. 10).

Abb. 10: Zweites Antiprisma

Je zwei diametrale Seitenflächen des Ikosaeders legen ein solches Antiprisma zweiter Art fest. Da das Ikosaeder 20 Seitenflächen hat, gibt es im Ikosaeder zehn solche Antiprismen zweiter Art.

Die Antiprismen zweiter Art haben eine dreiteilige Drehsymmetrie (Abb. 11). Die Drehachse geht durch die Mittelpunkte der Grund- und Deckdreiecke.

Abb. 11: Rotation des Antiprismas zweiter Art

Die Seitenflächen des Antiprismas zweiter Art sind gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkellänge im Verhältnis zur Basislänge im Goldenen Schnitt Φ steht.

Das Antiprisma zweiter Art ist ein unregelmäßiges Oktaeder.

6 Zusammenhang der beiden Antiprismen

Das Antiprisma zweiter Art lässt sich in ein Antiprisma erster Art einbeschreiben (Abb. 12).

Abb. 12: Antiprisma im Antiprisma

Die Figur hat keine fünfteilige Drehsymmetrie mehr (Abb. 13).

Abb. 13: Keine fünfteilige Drehsymmetrie

Die Abbildungen 14 und 15 zeigen eine auf das Antiprisma zweiter Art fokussierte Darstellung.

Abb. 14: Andere Darstellung

Abb. 15: Andere Darstellung

7 Ein drittes Antiprisma

Die Abbildung 16 zeigt Grund- und Deckdreieck einer weiteren Lösung.

Abb. 16: Grund- und Deckfläche

Die Abbildungen 17 und 18 zeigen das zugehörige Antiprisma.

Abb. 17: Antiprisma

Abb. 18: Rotierendes Antiprisma

Weblinks

Hans Walser: Antiprismen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen/Antiprismen.htm

Hans Walser: Antiprismen im Dodekaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen_im_Dodekaeder/Antiprismen_im_Dodekaeder.html

Hans Walser: Antiprismen im Ikosaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen_im_Ikosaeder/Antiprismen_im_Ikosaeder.html

Hans Walser: Antiprismen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen2/Antiprismen2.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7