Hans Walser, [20251227]
Antiprismen im Dodekaeder
1 Worum es geht
Durch geeignete Auswahl von Ecken im Dodekaeder finden wir Antiprismen
Auftreten des Goldenen Schnittes Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618
2 Beispiele
2.1 Beispiel 1
Die Abbildung 1 zeigt ein Kantenmodell des regelmäßigen Dodekaeders.
Abb. 1: Kantonmodell des Dodekaeders
Boden- und Deckfünfeck sind gegeneinander um 36° verdreht und können daher als Boden- und Deckfläche eines Antiprismas dienen (Abb. 2 und Abb. 3).
Abb. 2: Antiprisma
Abb. 3: Rotierendes Antiprisma
Die Seitenflächen des Antiprismas sind gleichschenklige Dreiecke. Das Längenverhältnis von Schenkel zu Basis ist Φ√2 ≈ 2.288.
2.2 Beispiel 2
Im Kantenmodell des Dodekaeders gibt es eine zweite Möglichkeit, zwei horizontale, um 36° verdrehte Fünfecke zu finden, welche als Boden- und Deckfläche eines Antiprismas dienen können (Abb. 4).
Abb. 4: Boden- und Deckfläche
Die Abbildungen 5 und 6 zeigen das zugehörige Antiprisma.
Abb. 5: Antiprisma
Abb. 6: Rotierendes Antiprisma
Die Seitenflächen des Antiprismas sind gleichschenklige Dreiecke. Das Längenverhältnis von Schenkel zu Basis ist 1/Φ ≈ 0.618.
2.3 Beispiel 3
Wir stellen das Dodekaeder auf eine Ecke (labiles Gleichgewicht) (Abb. 7). Wir können nun zwei horizontale gleichseitige Dreiecke einzeichnen, die gegeneinander um 60° verdreht sind.
Abb. 7: Auf eine Ecke gestellt
Die beiden gleichseitigen Dreiecke können als Grund- und Deckfläche eines Antiprismas dienen (Abb. 8 und Abb. 9).
Abb. 8: Antiprisma
Abb. 9: Rotierendes Antiprisma
Das Antiprisma ist ein unregelmäßiges Oktaeder.
Die Seitenflächen des Antiprismas sind gleichschenklige Dreiecke. Das Längenverhältnis von Schenkel zu Basis ist √2 ≈ 1.414. (Hätte ich nicht erwartet).
2.4 Beispiel 4
Die Abbildung 10 zeigt eine zweite Möglichkeit, zwei horizontale, um 60° verdrehte gleichseitige Dreiecke einzupassen. Dass die Verdrehung um 60° stimmt, muss man sich ein bisschen überlegen.
Abb. 10: Grund- und Deckfläche
Die Abbildungen 11 und 12 zeigen das zugehörige Antiprisma.
Abb. 11: Antiprisma
Abb. 12: Rotierendes Antiprisma
Das Antiprisma ist ein unregelmäßiges Oktaeder. Die Seitenflächen des Antiprismas sind gleichschenklige Dreiecke. Das Längenverhältnis von Schenkel zu Basis ist 1/√2 ≈ 0.707.
Dasselbe Antiprisma können wir auch im Würfel finden. In einem auf einer Ecke stehenden Würfel gibt es zwei horizontale, zueinander um 60° verdrehte gleichseitige Dreiecke (Abb. 13).
Abb. 13: Gleichseitige Dreiecke
Diese können zum Antiprisma ergänzt werden (Abb. 14 und Abb. 15). Es handelt sich um dasselbe Antiprisma wie in den Abbildungen 11 und 12.
Abb. 14: Antiprisma
Abb. 15: Rotierendes Antiprisma
Hintergrund: Der Würfel lässt sich in das Dodekaeder einpassen (Abb. 16 und Abb. 17).
Abb. 16: Würfel und Antiprisma im Dodekaeder
Abb. 17: Würfel und Antiprisma im Dodekaeder
Weblinks
Hans Walser: Antiprismen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen/Antiprismen.htm
Hans Walser: Antiprismen im Ikosaeder
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen_im_Ikosaeder/Antiprismen_im_Ikosaeder.html
Hans Walser: Antiprismen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Antiprismen2/Antiprismen2.html