Hans Walser, [20260820]

Berührende Kreise

1 Worum es geht

Spezielle Figur mit acht sich berührenden Kreisen

Schlegel-Diagramm des Oktaeders

2 Oktaeder und Kantenmittenkugel

Die Kantenmittenkugel schneiden aus jedem der acht Seitendreiecke des Oktaeders den Inkreis heraus (Abb. 1). Die Inkreise benachbarter Seitendreiecke berühren sich auf der gemeinsamen Kante.

Abb. 1: Oktaeder, Kantenmittenkugel und Inkreise der Seitendreiecke

3 Schlegel-Diagramm des Oktaeders

Die Abbildung 2 zeigt ein Beispiel eines Schlegel-Diagramms für das Oktaeder. Es gibt den Zusammenhang der Ecken, Kanten und Seitendreiecke des Oktaeders wieder. Längen- und Winkelverhältnisse stimmen aber nicht. Das Schlegel-Diagramm besteht ebenfalls aus acht Dreiecken. Das große Rahmendreieck muss mitgezählt werden.

Abb. 2: Beispiel eines Schlegel-Diagramms für das Oktaeder

Victor Schlegel (1843-1905)

4 Problemstellung

Wir zeichnen in die acht Dreiecke des Schlegel-Diagramms jeweils den Inkreis (Abb. 3).

Abb. 3: Inkreise im Schlegel-Diagramm

Die Inkreise in benachbarten Dreiecken berühren sich manchmal, manchmal auch nicht. Das war zu erwarten.

5 Problemstellung

Gibt es ein Schlegel-Diagramm des Oktaeders, in welchem sich die Inkreise benachbarter Dreiecke immer berühren?

6 Bearbeitung

Um es vorwegzunehmen: Es gibt ein solches Schlegel-Diagramm (Abb. 4).

Abb. 4: Berührende Inkreise

6.1 Geometrische Lösung

Wir projizieren das Oktaeder mit der Kantenmittenkugel (Abb. 1, links) vom Nordpol der Kantenmittenkugel aus auf die Äquatorebene (stereografische Projektion).

6.2 Rechnerische Lösung

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 5.

Abb. 5: Bezeichnungen

Das Außendreieck habe die Seitenlänge 2. Die halbe Seitenlänge ist also 1.

Wir haben vier Unbekannte im Spiel: r₁, r₂, r₃ und s.

Aus der Ähnlichkeit der beiden mit lila Winkeln bezeichneten rechtwinkligen Dreiecke folgt:

(1) s/r₁ = √(1 + (r₁ + s)²)/1

Für einen Drittel der Höhe des Außendreiecks finden wir:

(2) r₁ + s + 2r₃ = ⅓√3

Für zwei Drittel der Höhe des Außendreiecks finden wir:

(3) √(1 + r₂²) + r₂ + r₃ = ⅔√3

Aus der Ähnlichkeit der beiden mit grünen Winkeln bezeichneten rechtwinkligen Dreiecke folgt:

(4) r₂/1 = √3 r₃/(√(1 + r₂²) + r₂)

Mit den Gleichungen (1) bis (4) lassen sich die vier Ungekannten bestimmen. Wir erhalten mit CAS die numerischen Werte:

r₁ = 0.2192752633, r₂ = 0.09214036571, r₃ = 0.05832422143, s = 0.2414265631

Die exakten Werte lassen sich durch Quadratwurzeln angeben und sind somit mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Weblinks

Hans Walser: Kreisfiguren mit berührenden Kreisen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Beruehrende_Kreise/Beruehrende_Kreise.htm

Hans Walser: Berührkreise

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Beruehrkreise/Beruehrkreise.html