Hans Walser, [20260127]

Dreiecke verdrehen

1 Worum es geht

Kinematische geometrische Spielerei

Spiralen

2 Beispiele

2.1 Arithmetische Folge

Die Seitenlängen der aufeinanderfolgenden gleichseitigen Dreiecke bilden die arithmetische Folge 1, 2, 3, ... (Abb. 1.1).

Abb.1.1: Arithmetische Folge der Seitenlängen

Die Dreiecke werden gedreht, bis die Ecken auf den Seiten des nächstgrößeren Dreiecks liegen, also dort zum Anschlag kommen (Abb. 1.2). Die Spiralen sind nicht logarithmisch, da die relativen Drehwinkel aufeinanderfolgender Dreiecke variieren.

Das innerste Dreieck könnte weiterdrehen.

Abb. 1.2: Drehen bis zum Anschlag

Abb. 1.3: Kinematik

2.2 Arithmetische Flächenfolge

Die Flächeninhalte der Dreieck bilden eine arithmetische Folge (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Arithmetische Flächenfolge

Abb. 2.2: Am Anschlag

Abb. 2.3: Kinematik

2.3 Geometrische Folge

Die Seitenlänge aufeinanderfolgender Dreiecke bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 (Goldener Schnitt) (Abb. 3.1).

Abb. 3.1: Seitenverhältnisse im Goldenen Schnitt

Abb. 3.2: Am Anschlag

Abb. 3.3: Kinematik

2.4 Flächenverdreifachung

Die Flächeninhalte aufeinanderfolgender Dreiecke werden verdreifacht (Abb. 4.1).

Abb. 4.1: Verdreifachung de Flächeninhalte

Am Anschlag haben wir rechte Winkel (Abb. 4.2).

Abb. 4.2: Rechte Winkel am Anschlag

Abb. 4.3: Kinematik

2.5 Längenverdoppelung

Die Seitenlängen aufeinanderfolgender Dreiecke werden verdoppelt (Abb. 5.1).

Abb. 5.1: Verdoppelung der Seitenlängen

Es gibt keine Anschlagpunkte, sondern lediglich Berührungspunkte (Abb. 5.2).

Abb. 5.2: Berührung statt Anschlag

Daher kann weitergedreht werden (Abb. 5.3).

Abb. 5.3: Weiterdrehen

Weblinks

Hans Walser: Quadrate verdrehen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrate_verdrehen/Quadrate_verdrehen.html

Hans Walser: Fibonacci-Turm

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Turm/Fibonacci-Turm.html