Hans Walser, [20250801]

Eintauchen

1 Worum es geht

Spielerei in den Dimensionen eins, zwei und drei.

2 Punkte auf einer Geraden

Die Abbildung 1 zeigt Punkte auf einer horizontalen Geraden. Was geht hier ab?

Abb. 1: Was geht hier ab?

Die schwarzen Punkte geben offenbar den Takt an. Sie bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit hin und her.

Die roten und die blauen Punkt starten explosiv und enden implosiv.

3 Quadrat mit Um- und Inkreis

Wir erleben in der Abbildung 1 das Eintauchen (und das anschließende Wieder-Auftauchen) eines auf einer Ecke stehenden Quadrates, zusammen mit Um- und Inkreis, in eine virtuelle Wasserlinie (Abb. 2). Die offensichtliche Wasserlinie sehen wir nicht.

Abb. 2: Quadrat mit Um- und Inkreis

3.1 Euro

Der rote und der blaue Kreis entsprechen dem äußeren und dem inneren Rand des gelben Ringes beim Euro (Abb. 3.1).

Abb. 3.1: La rabbia per l'euro perduto

3.2 Bodenständiges Quadrat

Im schulischen Kontext „steht“ ein Quadrat meistens auf einer Grundseite (Abb. 3.2). Die schwarzen Punkte bleiben an Ort oder sind unsichtbar.

Abb. 3.2: Bodenständiges Quadrat

Bei schiefen Quadraten sind die beiden schwarzen Punkte asymmetrisch angeordnet (Abb. 3.2).

Abb. 3.3: Schiefes Quadrat

In welcher Position sind die beiden schwarzen Punkte trotzdem in symmetrischer Position?

4 Figuren in der Ebene

Was hat es mit der Abbildung 4 auf sich? — Die Schulweisheit sagt uns, dass es sich hier um das Analogon in der nächsthöheren Dimension handeln muss.

Abb. 4: Figuren in der Ebene

Die schwarze Figur ist manchmal ein gleichseitiges Dreieck und manchmal ein gleichwinkliges Sechseck mit alternierenden Seitenlängen. Im Sonderfall ist die schwarze Figur auch ein regelmäßiges Sechseck.

In den Sonderfällen des maximalen gleichseitigen Dreiecks ist der rote Kreis der Umkreis des gleichseitigen Dreiecks und der blaue Kreis der Inkreis (Abb. 5.1).

Abb. 5.1: Gleichseitiges Dreieck mit Um- und Inkreis

Im Sonderfall des regelmäßigen Sechsecks ist der grüne Kreis dessen Umkreis (Abb. 5.2). In diesem Sonderfall verhalten sich die Radien der drei Kreise wie √3:√2:1 und entsprechend die Kreisflächen wie 3:2:1. — Richtig, so sieht der Euro in der vierdimensionalen Hyperwelt aus.

Abb. 5.2: Sechseck mit Umkreis

5 Würfel mit Umkugel, Kantenmittenkugel und Inkugel

Die Abbildung 6.1 zeigt einen auf einer Ecke stehenden Würfel.

Abb. 6.1: Würfel, auf einer Ecke stehend

In der Abbildung 6.2 ist zusätzlich die Inkugel eingezeichnet. Dank den transparenten Würfelseitenflächen sehen wir die Inkugel.

Abb. 6.2: Inkugel

Die Kantenberührkugel berührt die zwölf Würfelkanten in ihren Mittelpunkten (Abb. 6.3). Die Kantenberührkugel ist im Lehrplan nicht vorhanden, es gibt sie aber trotzdem. Sie erklärt auch die bei der Abbildung 6.5 aufgeworfene Frage.

Abb. 6.3: Kantenberührkugel

Und schließlich die Umkugel (Abb. 6.4).

Abb. 6.4: Umkugel

Ist es möglich, dass ein Spielwürfel auf einer Ecke steht (Abb. 6.5)?

Abb. 6.5: Würfel auf Ecke

6 Durchgang durch die Ebene

Die Abbildung 7 zeigt den Durchgang des Würfels mit den drei Kugeln durch den virtuellen Wasserspiegel. Die Schnittfigur ist die Figur der Abbildung 4.

Abb. 7: Durchgang durch die Ebene

7 Bodenständiger Würfel

Die Abbildung 8 zeigt einen Bodenständigen Würfel beim Durchgang durch die Ebene.

Abb. 8: Bodenständiger Würfel

In der Ebene sehen wir vom Würfel ein Quadrat oder nichts (Abb. 9).

Abb. 9: Durchgang durch die Ebene

In Sonderfällen hat das sichtbare Quadrat einen Umkreis und einen Inkreis (Abb. 10).

Abb. 10.1: Der blaue Kreis kommt gleich

Abb. 10.2: Umkreis und Inkreis

8 Wer sieht was?

8.1 Intrinsische Sicht

Man ist versucht zur sagen, die Abbildung 4 zeige, wie eine Flatlanderin den Durchgang eines Würfels mit den drei Kugeln durch ihre Welt sieht. Das kann aber nicht sein, denn dann müsste sie von einem Punkt oberhalb ihrer Welt, also von der dritten Dimension aus, auf ihre zweidimensionale Welt hinabsehen können. So wie Napoleon vom Feldherrenhügel aus auf das Schlachtfeld hinabsieht.

Die intrinsische Sicht der Flatlanderin ist eindimensional, sie sieht lediglich eine pulsierende Strecke, einen Puls pro Durchgang (Abb. 11).

Abb. 11: Intrinsische Sicht

8.2 Keine Bijektivität

Von der Abbildung 4 lässt sich nicht eindeutig auf den Würfel mit den drei Kugeln zurückschließen. Ein stumpfes Hexaeder mit entsprechend abgeplatteten Rotationsellipsoiden (Abb. 12) hinterläßt beim Durchgang durch Flatland ebenfalls die Spur der Abbildung 4 (Abb. 13).

Abb. 12: Stumpfes Hexaeder und abgeplattete Rotationsellipsoide

Abb. 13: Durchgang durch Flatland

Wie muss der Würfel deformiert werden, damit Um-, Kantenmitten- und Inkugel zu Ostereiern werden?

Weblinks

Hans Walser: 4d-Sphäre

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/4/4d-Sphaere/4d-Sphaere.html

Hans Walser: Kugeldurchgang

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugeldurchgang/Kugeldurchgang.html

Hans Walser: Würfel auf Ecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_auf_Ecke/Wuerfel_auf_Ecke.htm

Literatur

Abbott, Edwin A. (1884): Flatland. A Romance of Many Dimensions. London: Seeley.

Burger, Dyonis (1978): Silvestergespräche eines Sechsecks. Köln: Aulis. ISBN 3-7614-0085-3.

Haselmann, Sina und Schmidt-Thieme Barbara (2025): Besuch im Flächenland: Wie eine Virtual-Reality-Anwendung den Dimensionsbegriff anschaulich vermitteln kann. MNU Journal – Ausgabe 04.2025 – ISSN 0025-5866 – Verlag Klaus Seeberger. S. 270-274.

Walser, Hans (2018): Der Würfel. Ansichten – Dimensionen – Modelle. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2018. ISBN 978-3-95922-102-3.

Walser, Hans (2017): Würfel auf Ecke. mathematik lehren 205 | 2017, 46-47.