1 Worum es geht

Flächenverhältnis bei Ellipsen im Quadratgitter.

2 Die Ellipsen

Im Quadratgitter (Abb. 1) zeichnen wir zwei Ellipsen durch die markierten Gitterpunkte.

Abb. 1: Ellipsen im Quadratgitter

3 Problemstellung

Welches ist das Flächenverhältnis rot zu gelb (Abb. 2)?

Abb. 2: Farbige Unterteilung

4 Bearbeitung

Aus den beiden Dreiecken (Abb. 3), einem gleichseitigen (magenta) und einem rechtwinklig gleichschenkligen (grau), lesen wir für die Ellipsen das Achsenverhältnis √3 : 1 ab.

Wir normieren an das Quadratgitter angepasst die lange Halbachse a = 2. Damit ergibt sich die kurze Halbachse b = 2/√3 ≈ 1.1547.

Abb. 3: Halbachsen

Die Ellipsenfläche ist also ab π = 4/√3 π ≈ 7.2552.

Der grüne Kreissektor (Abb. 4) hat den Radius a = 2 und den Sektorwinkel π/3 = 60°. Sein Flächeninhalt ist ½ a² π/3 = ⅔ π ≈ 2.0944.

Abb. 4: Kreissektor

Wir stauchen nun den grünen Kreissektor in senkrechter Richtung mit dem Faktor 1/√3 ≈ 0.5774 und erhalten den roten Ellipsensektor (Abb. 5). Dieser hat den Flächeninhalt ½ a² π/3/√3 = ⅔ π/√3 ≈ 1.2092.

Abb. 5: Ellipsensektor

Der rote Ellipsensektor ist ein Viertel des roten Flächenanteils der Abbildung 2. Dieser rote Flächenanteil ist also 8/3/√3 π ≈ 4.8368. Das sind zwei Drittel der Ellipsenfläche.

Die beiden gelben Möndchen einer Ellipse messen je einen Sechstel der Ellipsenfläche.

Die vier gelben Möndchen zusammen messen vier Sechstel, also zwei Drittel der Ellipsenfläche. Sie sind zusammen also gleich groß wir der rote Flächenanteil.

Wir erhalten:

rot zu gelb = 1 : 1

Weblinks

Hans Walser: Ellipse

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipse3/Ellipse3.html

Hans Walser: Kreise und Ellipsen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_u_Ellipsen2/Kreise_u_Ellipsen2.html