1 Worum es geht

Analyse einer Ellipse im Kontext des Quadratgitters und des gleichseitigen Dreiecks.

2 Quadratgitter

In einem schwarzen Quadratgitter der Maschenweite 1 markieren wir sieben Punkte (Abb. 1) und passen eine Ellipse ein.

Abb. 1: Ellipse im Quadratgitter

Wir können das Quadratgitter für ein kartesisches Koordinatensystem verwenden (Abb. 2). In diesem Koordinatensystem hat die Ellipse die Gleichung:

x² – xy + y² = 1

Abb. 2: Koordinatensystem

Nun überlagern wir die Figur mit einem Quadratgitter der Maschenweite √(⅓) ≈ 0.577 (grün in Abb. 3).

Die Ellipse geht auch durch sechs Gitterpunkte des grünen Quadratgitters.

Abb. 3: Zweites Quadratgitter

Wird das grüne Quadratgitter zu einem Koordinatensystem (mit der Maschenweite √(⅓) ≈ 0.577 als Einheit) verwendet, ergibt sich für die Ellipse die Gleichung:

x² – xy + y² = 3

3 Gleichseitige Dreiecke

Die Ellipse hat (auf das schwarze Quadratgitter bezogen) die lange Halbachse √2 ≈ 1.414 und die kurze Halbachse √(2/3) ≈ 0.816 (Abb. 4).

Abb. 4: Halbachsen

Das Achsenverhältnis ist √3 : 1.

Wir können daher zwei gleichseitige Dreiecke einpassen (Abb. 5), welche zusammen einen Rhombus bilden. Die Ecken des Rhombus sind im Wechsel Gitterpunkte des schwarzen und des grünen Quadratgitters.

Abb. 5: Gleichseitige Dreiecke. Rhombus

4 Krümmungskreise

Der Krümmungsradius in den beiden spitzen Scheiteln der Ellipse ist ein Drittel der langen Halbachse. Wir können daher drei kongruente Kreise einpassen (Abb. 6).

Abb. 6: Krümmungskreise in den spitzen Scheiteln

Der Krümmungsradius in den beiden stumpfen Scheiteln der Ellipse ist das Dreifache der kurzen Halbachse. Wir können daher drei Ellipsen in den Krümmungskreis einpassen (Abb. 7).

Abb. 7: Krümmungskreis für die stumpfen Scheitel der Ellipse

Weblinks

Hans Walser: Ellipsen in Ellipse

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsen_in_Ellipse/Ellipsen_in_Ellipse.htm

Hans Walser: Kreise und Ellipsen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_u_Ellipsen3/Kreise_u_Ellipsen3.html

Hans Walser: Kreise und Ellipsen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_u_Ellipsen2/Kreise_u_Ellipsen2.html

Hans Walser: Kreise und Ellipsen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_u_Ellipsen/Kreise_u_Ellipsen.htm

Hans Walser: Orthogonale Großkreise

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orth_Grosskreise/Orth_Grosskreise.htm