Hans Walser, [20260303]
Fibonacci-Summenformel
1 Worum es geht
Summenformel für eine Folge mit der Fibonacci-Rekursion
Irrelevanz der Startwerte
Link zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
2 Beispiel
Wir bilden die Summe eines Ausschnittes aus der klassischen Fibonacci-Folge (Tab. 1). Die Summe der gelb markierten Zahlen ist 50. Dies ist die Differenz der beiden fett umrandeten Zahlen.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
an |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
Tab. 1: Ausschnitt aus der Fibonacci-Folge
3 Die Summenformel
Eine Folge ap habe die Rekursion:
Die Startwerte spielen im Folgenden keine Rolle.
Es gilt die Summenformel:
Also salopp: „Obergrenze minus Untergrenze“, allerdings mit einem leichten Versatz der Grenzen.
4 Beweis
Aus der Rekursion folgt:
Damit wird:
In dieser Summe fallen fast alle Summanden heraus. Es bleibt übrig:
Dies ist aber die zu beweisende Summenformel.
5 Bemerkung
Die Summenformel erinnert an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bei der Exponentialfunktion, allerdings mit einem Versatz der Grenzen:
Dies ist nicht erstaunlich, denn die Fibonacci-Folgen sind ja Linearkombinationen von geometrischen Folgen.
Weblinks
Hans Walser: Fibonacci-Summenformel
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Summenformel2/Fibonacci-Summenformel2.html
Hans Walser: Fibonacci-Summenformel
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Summenformel/Fibonacci-Summenformel.html