Hans Walser, [20240419]

Flächengleichheit

1 Worum es geht

Flächengleichheit in einer Figur mit einer Mandorla

2 Mandorla

In ein auf einer Ecke stehendes Quadrat zeichnen wir eine aus zwei Viertelkreisen bestehende Mandorla ein (Abb. 1).

Abb. 1: Mandorla

Für die folgenden Maßangaben wird die Quadratseite als 1 angenommen.

3 Quadrat und Rechtecke

In die Mandorla passen wir auf beliebiger Höhe ein ebenfalls auf einer Ecke stehendes Quadrat ein (Abb. 2).

Abb. 2: Quadrat einpassen

Anschließend passen wir außerhalb der Mandorla zwei Rechtecke ein (Abb. 3). Die Rechteck haben je eine Ecke mit dem Quadrat gemeinsam.

Abb. 3: Rechtecke einpassen

4 Flächengleichheit

Die Flächensumme der beiden blauen Rechteck ist gleich groß wie der Flächeninhalt des roten Quadrates (Abb. 4).

Abb. 4: Flächengleichheit

5 Sonderfälle

In einer 5×5-Rasterung des Quadrates wird die Flächengleichheit offensichtlich (Abb. 5).

Abb. 5: 5×5-Rasterung

Wir haben je vier Rasterquadrate. Allerdings muss noch gezeigt werden, dass die gemeinsamen Ecken von Quadrat und Rechtecken auf den Viertelkreisen der Mandorla liegen. Dies wird durch Einzeichnen des pythagoreischen Dreiecks mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 ersichtlich (Abb. 6).

Abb. 6: Pythagoreisches Dreieck 3:4:5

Aus dem pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 5:12:13 ergibt sich die Situation der Abbildungen 7 und 8. Wir haben je 16 Teilquadrate.

Abb. 7: 13×13-Rasterung

Abb. 8: Pythagoreisches Dreieck 5:12:13

Aus dem pythagoreischen Dreieck mit dem Seitenverhältnis 15:8:17 ergibt sich die Situation der Abbildungen 9 und 10. Wir haben je 36 Teilquadrate.

Abb. 9: 17×17-Rasterung

Abb. 10: Pythagoreisches Dreieck 15:8:17

6 Beweis

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der folgenden Studie.

7 Optische Effekte

Bei einem kleinen Quadrat erscheinen die Rechtecke flächenmäßig noch viel kleiner (Abb. 11). Dies ist aber ein Irrtum.

Abb. 11: Klein

In der Mitte sind die blauen Rechtecke ebenfalls Quadrate (Abb. 12). Man kann kaum glauben, dass die Flächensumme der beiden blauen Quadrate nur so groß ist wie der Flächeninhalt des roten Quadrates.

Abb. 12: In der Mitte

Der Flächeninhalt ist 3 – 2√2 ≈ 0.17157287525381.

Weblinks

Hans Walser: Flächengleichheit

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechengleichheit4/Flaechengleichheit4.html

Hans Walser: Flächengleichheit

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechengleichheit6/Flaechengleichheit6.html