1 Worum es geht

Beispiel einer invarianten Rechteckfläche

2 Konstruktion

Wir beginnen mit der Figur der Abbildung 1. Auf dem Kreis haben wir einen laufenden Punkt A.

Abb. 1: Startfigur

Wir zeichnen einen Punkt C auf der Geraden g so, dass der Winkel ABC ein rechter Winkel ist (Abb. 2).

Abb. 2: Rechter Winkel

Wir ergänzen zum Rechteck ABCD (Abb. 3).

Abb. 3: Rechteck

3 Flächeninvarianz

Die Rechteckfläche bleibt bei diesem Prozess invariant.

4 Beweis

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

Die beiden violetten Winkel sind gleich. Wir bezeichnen sie mit α.

Es ist:

|AB| = 2r cos(α)

|BC| = p/cos(α)

Damit ist die Rechteckfläche 2rp, unabhängig vom Winkel α.

5 Bahnkurve

Die Abbildung 5 zeigt die Bahnkurve der Rechteckecke D. Ich weiß nicht, wie diese Kurve heißt.

Abb. 5: Bahnkurve

6 Satz des Pythagoras

Aus der Flächeninvarianz folgt der Kathetensatz (Abb. 6.1) und durch zweimalige Anwendung der Satz des Pythagoras (Abb. 6.2, mit Bahnkurven).

Abb. 6.1: Kathetensatz

Abb. 6.2: Satz des Pythagoras

7 Verallgemeinerung

Die Flächeninvarianz gilt auch für Parallelogramme (Abb. 7). Die beiden rot markierten Winkel sind gleich. Beweis analog zu den Rechteckflächen, dabei muss mit dem Abstand der schrägen Geraden vom Fußpunkt des Parallelogramms gearbeitet werden.

Abb. 7: Invariante Parallelogrammfläche

Weblinks

Hans Walser: Flächeninvarianz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaecheninvarianz/Flaecheninvarianz.html

Hans Walser: Kathetensatz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kathetensatz6/Kathetensatz6.html