Hans Walser, [20250720]

Ganzzahlige Dreiecke

1 Worum es geht

1) Gesucht sind Dreiecke, deren Innenwinkel ganzzahlige Tangenswerte haben.

2) Gesucht sind Dreiecke, deren halbe Innenwinkel ganzzahlige Kotangenswerte haben.

2 Beispiele

2.1 Beispiel mit Tangenswerten

Im Dreieck mit den Eckpunktkoordinaten A(3, 4), B(0, 1), C(3,0) (Abb. 1) ist:

tan(α) = 1, tan(β) = 2, tan(γ) = 3

Für die Winkel α und γ sind diese Tangenswerte aus der Abbildung unmittelbar ersichtlich.

Der Winkel β kann aufgeteilt werden in einen Winkel β₁ mit tan(β₁) = 1 und einen Winkel β₂ mit tan(β₂) = ⅓. Aus dem Additionstheorem für den Tangens folgt:

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Abb. 1: Ganzzahlige Tangenswerte der Innenwinkel

Geometrisch einsichtig wird der Sachverhalt tan(β) = 2 durch Einzeichnen von drei kongruenten rechtwinkligen Stützdreiecken (blau in Abb. 2).

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Abb. 2: Stützdreiecke

Bemerkung: In unserem Beispiel ist:

tan(α) + tan(β) + tan(γ) = tan(α) tan(β) tan(γ)

Dies gilt nicht nur in unserem Beispiel, sondern in jedem beliebigen Dreieck.

In unserem Beispiel haben wir den Fall 1 + 2 + 3 = 1•2•3.

2.2 Beispiel mit Kotangenswerten

Wir arbeiten im Dreieck mit den Eckpunktkoordinaten A(3, 4), B(0, 0), C(3, 0) (Abb. 3). Es handelt sich um das pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 3, b = 4 und c = 5, das sogenannte „ägyptische“ pythagoreische Dreieck, auch „Lehrerdreieck“ genannt, da es den Hintergrund fast aller Schulaufgaben zum Satz des Pythagoras liefert.

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Abb. 3: Ganzzahlige Kotangenswerte der halben Innenwinkel

In diesem Dreieck ist

Diese Kontangenswerte lassen sich unmittelbar ablesen, wenn wir den Inkreis ins Spiel bringen (Abb. 4). Das pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 3, b = 4 und c = 5 hat den Inkreisradius 1.

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Abb. 4: Inkreis

Bemerkung 1: In unserem Beispiel ist:

Dies gilt nicht nur in unserem Beispiel, sondern in jedem beliebigen Dreieck.

In unserem Beispiel haben wir den Fall 3 + 2 + 1 = 3•2•1.

Bemerkung 2: Pythagoreische Dreiecke haben immer einen ganzzahligen Inkreisradius. Daher sind bei pythagoreischen Dreiecken die Kotangenswerte der halben Innenwinkel immer rational. Die Abbildung 5 zeigt das „indische“ pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 5, b = 12 und c = 13 und dem Inkreisradius 2.

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Abb. 5: „Indisches“ pythagoreisches Dreieck

Es ist:

Die Kotangenswerte sind nicht alle ganzzahlig, aber rational. Nach wie vor ist:

3 Weitere Beispiele?

3.1 Spitze, rechte und stumpfe Winkel

Gibt es weitere Dreiecke mit ganzzahligen Tangens- beziehungsweise Kotangenswerten?

Ganzzahlige Tangenswerte tan(α) gibt es nur für |α| ≥ 45°. Da in einem stumpfwinkligen Dreieck mit γ > 90° die Summe α + β < 90° ist, muss mindestens einer der beiden Winkel α oder β kleiner als 45° sein. Daher kommen stumpfwinklige Dreiecke für unsere Überlegungen nicht in Frage. Das einzige rechtwinklige Dreieck mit ausschließlich Winkeln größer oder gleich 45° ist das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck. Hier ist tan(α) = 1, tan(β) = 1, aber tan(γ) nicht definiert. Man kann diskutieren, ob dies als Lösung für unsere Fragestellung taugt.

Somit bleiben für ganzzahlige Tangenswerte nur die spitzwinkligen Dreiecke. Alle Tangenswerte sind dann positiv.

Die Kontangenswerte beziehen sich auf die halben Innenwinkel. Dies sind immer, auch im stumpfwinkligen Dreieck, spitze Winkel.

3.2 Zahlentheoretische Überlegung

Die Frage, ob es weitere Dreiecke mit ganzzahligen Tangens- beziehungsweise Kotangenswerten gibt, ist gleichbedeutend damit, Lösungen der diophantischen Gleichung

p + q + r = pqr

zu finden.

Die triviale Lösung ist:

p = 0, q = 0, r = 0

Für weitere Lösungen bezeichnen wir der Größe nach:

p ≥ q ≥ r > 0

Dann ist die Summe ≤ 3p. Die Summe muss aber auch ein Produkt mit dem Faktor p sein. Daher machen wir die Fallunterscheidung:

(I) Summe = p

(II) Summe = 2p

(III) Summe = 3p

Fall (I): Es muss p = pqr sein, also q = 1 und r = 1. Dann ist die Summe aber nicht p, sondern p + 2. Widerspruch.

Fall (II): Es muss 2p = pqr sein, also q = 2 und r = 1. Die Summe ist dann p + 3. Somit 2p = p + 3, also p = 3. Wir erhalten die schon bekannte Lösung p = 3, q = 2 und r = 1.

Fall (III): Es muss 3p = pqr sein, also q = 3 und r = 1. Die Summe ist dann p + 4. Somit 3p = p + 4, also p = 2. Widerspruch zu p ≥ q.

Die einzige Lösung ist also p = 3, q = 2 und r = 1, also 3 + 2 + 1 = 3•2•1.

Die in der Eingangsfrage gesuchten Dreiecke sind also (bis auf Ähnlichkeitstransformationen) die Dreiecke der Abbildungen 1 und 4. Für den Autor war es überraschend, dass das pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 3, b = 4 und c = 5 auch hier als Lösung auftritt.