Hans Walser, [20260116]

Gestörte Fibonacci-Folge

Idee und Anregung: Jo Niemeyer, Breitnau im Hochschwarzwald 

1 Worum es geht

Folgen, die beim Rückwärtsdifferenzieren in die rückwärtslaufende Fibonacci-Folge übergehen.

2 Beispiele

Wir arbeiten mit der Rekursion:

a_n = | a_{n – 1} – a_{n – 2} |

Es werden also die beiden vorhergehenden Zahlen voneinander subtrahiert, und zwar (dank der Betragsstriche) immer die kleinere Zahl von der größeren.

2.1 Beispiel 1

Wir arbeiten mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 14. Die Tabelle 1 zeigt die Werte der Folge. Ab n = 5 haben wir eine rückwärtslaufende Fibonacci-Folge.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	14	Zweiter Startwert
3	11
4	3
5	8	Beginn der Fibonacci-Folge
6	5
7	3
8	2
9	1
10	1

Tab. 1: Beispiel 1

Die Abbildung 1 zeigt das zugehörige Säulendiagramm.

Abb. 1: Säulendiagramm

2.2 Beispiel 2

Wir arbeiten mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 16. Die Tabelle 2 zeigt den Verlauf der Folge. Ab n = 6 haben wir eine rückwärtslaufende Fibonacci-Folge.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	16	Zweiter Startwert
3	9
4	7
5	2
6	5	Beginn der Fibonacci-Folge
7	3
8	2
9	1
10	1

Tab. 2: Beispiel 2

Die Abbildung 2 zeigt das zugehörige Säulendiagramm.

Abb. 2: Säulendiagramm

3 Gegenbeispiel

In der Regel erhalten wir allerdings keine Fibonacci-Folge.

Mit zum Beispiel den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 15 erhalten wir keine Fibonacci-Folge (Tab. 3 und Abb. 3).

n	an
1	25	Erster Startwert
2	15	Zweiter Startwert
3	10
4	5
5	5
6	0
7	5
8	5
9	0
10	5

Tab. 3: Gegenbeispiel

Abb. 3: Gegenbeispiel

4 Problemstellung

Wie finden wir Startwerte, welche nicht der Fibonacci-Folge angehören, aber bei unserer Rekursion auf die Fibonacci-Folge führen?

5 Störung der Fibonacci-Folge

Wir rollen die Sache von hinten her auf. Dazu arbeiten wir mit der üblichen Rekursion für die Fibonacci-Folge, bauen aber an einer arbiträren Stelle eine Störung ein.

5.1 Beispiel 1

Wir wählen wir für die Fibonacci-Folge üblich die Startwerte g₁ = 1 und g₂ = 2.

Die Rekursion geht nun folgendermaßen:

falls n ≠ 7: g_n = g_{n – 1} + g_{n – 2} (übliche Fibonacci-Rekursion)

falls n = 7: g_n = g_{n – 3} (Störung)

Dies führt zur Folge der Tabelle 4 und der Abbildung 4.

n	gn
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	3	Störung
8	11
9	14
10	25

Tab. 4: Gestörte Fibonacci-Folge

Die Abbildung 4 ist spiegelbildlich zur Abbildung 1.

Abb. 4: Gestörte Fibonacci-Folge

Wir können nun zwei beliebige aufeinanderfolgende Zahlen oberhalb der Störung als Startwerte wählen und kommen dabei mit der Differenzenrekursion auf die Fibonacci-Folge zurück.

5.2 Beispiel 2

Tabelle 6 und Abbildung 6 zeigen ein Beispiel mit der Störung bei n = 11.

n	gn
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	21	Störung
12	76
13	97
14	173
15	270

Tab. 5: Störung bei n = 11

Abb. 5: Störung bei n = 11

6 Goldener Schnitt

Auch gestörte Fibonacci-Folgen führen bei der Quotientenbildung aufeinanderfolgender Glieder, also q_n = g_n/ g_{n – 1}, zum Goldenen Schnitt (Tab. 6 und Abb. 6). Durch die Störung ergeben sich zwar Ausschläge, die sich aber mit der Zeit wieder einpendeln.

n	gn	qn = gn/ gn – 1	qn = gn/ gn – 1
1	1
2	1	1	1.
3	2	2	2.
4	3	3/2	1.50000
5	5	5/3	1.66667
6	8	8/5	1.60000
7	13	13/8	1.62500
8	21	21/13	1.61538
9	34	34/21	1.61905
10	55	55/34	1.61765	nah am Goldenen Schnitt
11	21	21/55	0.381818	Störung
12	76	76/21	3.61905
13	97	97/76	1.27632
14	173	173/97	1.78351
15	270	270/173	1.56069
16	443	443/270	1.64074
17	713	713/443	1.60948
18	1156	1156/713	1.62132
19	1869	1869/1156	1.61678
20	3025	3025/1869	1.61851
21	4894	4894/3025	1.61785
22	7919	7919/4894	1.61810
23	12813	12813/7919	1.61801
24	20732	20732/12813	1.61804
25	33545	33545/20732	1.61803	strebt gegen den Goldenen Schnitt

Tab. 6: Störung und Goldener Schnitt

Abb. 6: Goldener Schnitt nach der Störung

7 Mehrere Störungen

Wir können auch mehrere Störungen einbauen. Im folgenden Beispiel (Tab. 7 und Abb. 7) haben wir Störungen bei n = 7 und bei n = 12.

Die Rekursion geht jetzt so:

falls n ≠ 7 oder n ≠ 12: g_n = g_{n – 1} + g_{n – 2} (übliche Fibonacci-Rekursion)

falls n = 7: g_n = g_{n – 3} (erste Störung)

falls n = 12: g_n = g_{n – 3} (zweite Störung)

n	gn
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	3	erste Störung
8	11
9	14
10	25
11	39
12	14	zweite Störung
13	53
14	67
15	120

Tab. 7: Zwei Störungen

Abb. 7: Zwei Störungen

Der Goldene Schnitt ist resilient auch bei zwei Störungen (Tab. 8 und Abb. 8).

n	gn	qn = gn/ gn – 1	qn = gn/ gn – 1
1	1
2	1	1	1.
3	2	2	2.
4	3	3/2	1.50000
5	5	5/3	1.66667
6	8	8/5	1.60000
7	3	3/8	0.375000	erste Störung
8	11	11/3	3.66667
9	14	14/11	1.27273
10	25	25/14	1.78571
11	39	39/25	1.56000
12	14	14/39	0.358974	zweite Störung
13	53	53/14	3.78571
14	67	67/53	1.26415
15	120	120/67	1.79104
16	187	187/120	1.55833
17	307	307/187	1.64171
18	494	494/307	1.60912
19	801	801/494	1.62146
20	1295	1295/801	1.61673
21	2096	2096/1295	1.61853
22	3391	3391/2096	1.61784
23	5487	5487/3391	1.61811
24	8878	8878/5487	1.61801
25	14365	14365/8878	1.61804

Tab. 8: Zwei Störungen

Abb. 8: Der Goldene Schnitt bei zwei Störungen

Weblinks

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge2/Differenzenfolge2.html

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge/Differenzenfolge.html