1 Worum es geht

Konstruktion des Goldenen Schnittes mit einer Hyperbel

2 Problemstellung

Eine gegebene Strecke (Abb. 1a) soll im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt werden.

3 Konstruktionsgang

Abb. 1: Strecke, Quadrate, Hyperbel

Wir setzen der Strecke zwei Quadrate auf (Abb. 1b). Anschließend zeichnen wir die Hyperbel mit den Streckenenden als Brennpunkten durch die oberen Ecken des aus den beiden Quadraten gebildeten Rechtecks (Abb. 1c). Die beiden Hyperbeläste schneiden wir mit der gegebenen Strecke.

Die gegebene Strecke ist nun in verschiedener Weise im Verhältnis des Goldenen Schnittes unterteilt.

In der Abbildung 2a) haben wir die Unterteilung Major : Minor : Major, in der Abbildung 2b) von links nach rechts die Unterteilung Major : Minor und in der Abbildung 2c) die Unterteilung Minor : Major.

Abb. 2: Goldener Schnitt

4 Beweis

Mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 bezeichnen wir den Goldenen Schnitt.

Für das Beispiel der Abbildung 2b) wählen wir ein kartesisches Koordinatensystem mit den Bezeichnungen der Abbildung 3.

Abb. 3: Bezeichnungen

Die Punkte auf dem eingezeichneten Hyperbelast haben für die Abstände von den Brennpunkten F₁ beziehungsweise F₂ die Differenz √5 – 2. Daher ist:

(1) p – q = √5 – 2

Weiter ist:

(2) p + q = 1

Aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:

p = (–1 + √5)/2 = 1/ Φ

q = 1 – p = (1/ Φ)²

Daraus folgt:

p : q = Φ : 1

Dies war zu zeigen.

5 Pentagramm

In die Figur der Abbildung 2a) kann ein Pentagramm eingepasst werden (Abb. 4).

Abb. 4: Pentagramm

Weblinks

Hans Walser: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldener_Schnitt_21/Goldener_Schnitt_21.html

Hans Walser: Goldener Schnitt im Doppelquadrat

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldener_Schnitt_im_Doppelquadrat/Goldener_Schnitt_im_Doppelquadrat.html

Hans Walser: Miniaturen: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0