1 Konstruktion

Die Startfigur besteht aus einem Quadrat auf einer Basislinie und mit einem Umkreis (Abb. 1). Für spätere Maßangaben normieren wir den Kreisradius auf 1.

Abb. 1: Startsituation

Nun lassen wir das Quadrat weg und beschreiben dem Kreis ein regelmäßiges n-Eck ein (Abb. 2 für n = 3).

Abb. 2: Regelmäßiges Vieleck

Von den Ecken des regelmäßigen Vielecks aus projizieren wir auf die Basislinien (Abb. 3).

Abb. 3: Normalprojektion

Den drei Projektionsstrecken setzen wir Quadrate an (Abb. 4). Die Summe der drei Quadratflächen ist drei.

Abb. 4: Quadrate ansetzen

2 Invariante Quadratsumme

Bei einer Drehung des regelmäßigen Dreiecks bleibt die Quadratsumme invariant (Abb. 5).

Abb. 5: Invariante Flächensumme

3 Andere Eckenzahlen

Die Flächeninvarianz funktioniert für alle Eckenzahlen n ≥ 3 (Abb. 6 für n = 4 und Abb. 7 für n = 7). Die invariante Quadratsumme ist jeweils gleich der Eckenzahl n.

Abb. 6: Quadrat

Abb. 7: Regelmäßiges Siebeneck

4 Hintergrund

Es ist, unabhängig von t:

5 Bahnkurve

Die roten Quadrate haben zwei Eckpunkte auf der Basislinie und einen Eckpunkt auf dem Kreis. Der vierte Eckpunkt verläuft auf einer Ellipse (Abb. 8 bis Abb. 10). Diese Bahnkurve, eine Ellipse, ist unabhängig von n. Die Ellipse ist ein verschertes Bild des Kreises.

Abb. 8: Bahnkurve der vierten Quadratecke

Abb. 9: Bahnkurve der vierten Quadratecke

Abb. 10: Bahnkurve der vierten Quadratecke

Weblinks

Hans Walser: Invariante Quadratsumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Inv_Quadratsumme/Inv_Quadratsumme.htm

Hans Walser: Invariante Flächensumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme/Invariante_Flaechensumme.html

Hans Walser: Invariante Flächensummen (Vortrag)

https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20261022/index.html