1 Worum es geht

Ähnliche gleichschenklige Dreiecke im allgemeinen Dreieck führen zu einem Invarianten Schwerpunkt.

2 Konstruktion

Den Seiten eines allgemeinen Dreiecks setzen wir ähnliche gleichschenklige Dreiecke an (grün in Abb. 1).

Abb. 1: Ähnliche gleichschenklige Dreiecke

Die Spitzen dieser Dreiecke verbinden wir zu einem weiteren Dreieck (rot in Abb. 2) und zeichnen dessen Schwerpunkt.

Abb. 2: Rotes Dreieck mit Schwerpunkt

Nun variieren wir den Basiswinkel der grünen gleichschenkligen Dreiecke (Abb. 3).

Abb. 3: Variation des Basiswinkels

Der Schwerpunkt des roten Dreiecks bleibt invariant.

3 Beweis

Wir arbeiten mit dem Parameter t und definieren damit den komplexen Faktor f = 1 + t*i mit i^2 = –1.

Wir arbeiten in der komplexen Ebene ℂ mit den Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

Es ist:

A1 = B + f*(C – B)/2

B1 = C + f*(A – C)/2

C1 = A + f*(B – A)/2

Der Parameter t ist der Tangens des Basiswinkels der gleichschenkligen Dreiecke.

Für den Schwerpunkt S1 des roten Dreiecks erhalten wir:

S1 = 1/3*(A1 + B1 + C1)

S1 = 1/3*(A + B + C) + 1/3*f*((C – B) + (A – C) + (B – A))/2

Die zweite Klammer gibt null. Daher ist:

S1 = 1/3*(A + B + C)

Dies ist unabhängig vom Parameter t. S1 ist invariant. S1 ist auch der Schwerpunkt des ursprünglichen Dreiecks ABC.

4 Sonderfälle

Es gibt zwei Sonderfälle, in denen das rote Dreieck flachgedrückt ist (Abb. 5). Die beiden flachgedrückten Lösungen stehen senkrecht aufeinander (numerisch überprüft).

Abb. 5: Sonderfälle

Weblink

Hans Walser: Invarianter Schwerpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianter_Schwerpunkt/Invarianter_Schwerpunkt.htm

Hans Walser: Invarianter Schwerpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianter_Schwerpunkt2/Invarianter_Schwerpunkt2.html