Hans Walser, [20260822]

Isoedrische Hexaeder

1 Worum es geht

Hexaeder, dessen sechs Seitenflächen kongruente Vierecke sind. Daher die Bezeichnung isoederisch.

2 Schlegel-Diagramme

Wir arbeiten zunächst aus kombinatorischen Gründen im Schlegel-Diagramm des Hexaeders (Abb. 1).

Abb. 1: Schlegel-Diagramm des Hexaeders

Wir markieren nun die Kanten der Vierecke gemäß ihrer Länge mit Farben. Gleiche Farben heißt gleiche Länge.

2.1 Vier verschiedene Kantenlängen

Wir müssen also vier verschiedene Farben unterbringen.

Dazu markieren wir zunächst das innerste Viereck mit vier verschiedenen Farben (Abb. 2).

Abb. 2: Vier verschiedene Farben

Für die hellblau gezeichnete schräge Kante unten links kommen die Farben rot und orange nicht mehr in Frage. Ebenso fällt grün weg, da grün mit orange keinen Punkt gemeinsam haben kann. Auch blau fällt weg, da rot und blau keinen Punkt gemeinsam haben können.

Es gibt also keine Lösung und damit kein isoedrisches Hexaeder mit Seitenvierecken mit vier verschiedenen Längen.

2.2 Drei verschiedene Kantenlängen

2.2.1 Die zwei gleich langen Kanten haben einen Punkt gemeinsam

Dazu gibt es eine Lösung (Abb. 3). Jedes Viereck hat zwei grüne Kanten, welche einen Punkt gemeinsam haben. In diesem Punkt kommt dann auch noch eine dritte Kante an.

Abb. 3: Drei verschiedene Farben

Wir werden sehen, dass sich dies auch als isoedrisches Hexaeder realisieren lässt.

2.2.2 Die zwei gleich langen Kanten liegen einander gegenüber

Wir markieren im innersten Viereck die beiden horizontalen Kanten grün (Abb. 4). Dann müssen auch die horizontalen Kanten des Außenviereckes grün sein.

Abb. 4: Zwei grüne Kanten

Für die hellblau markierte schräge Kante links unten kommt grün nun nicht mehr in Frage. Damit hat das Viereck links aber keine zwei gegenüberliegende Kanten mehr frei für grün.

Es gibt also kein isoedrisches Hexaeder mit drei Kantenlängen auf den Seitenflächen, wobei zwei gegenüberliegende Kanten gleich lang sind.

2.3 Zwei verschiedene Kantenlängen

2.3.1 Gegenüberliegende Kanten gleich lang

Wir setzen zunächst die horizontalen Kanten grün (Abb. 5). Dann müssen die vertikalen Kanten rot sein.

Abb. 5: Gegenüberliegende Kanten in gleicher Farbe

Für die schrägen Kanten bleibt jetzt keine Farbe mehr übrig.

Es gibt also kein isoedrisches Hexaeder mit zwei Kantenlängen auf den Seitenflächen, so dass gegenüberliegende Kanten gleich lang sind.

2.3.2 Je zwei gleich lange Kanten haben einen Punkt gemeinsam

Die Abbildung 6 zeigt eine Lösung. Die sechs Seitenvierecke sind Drachenvierecke.

Abb. 6: In jedem Viereck haben je zwei gleichfarbige Kanten einen Punkt gemeinsam

Wir werden allerdings sehen, dass sich diese Lösung nicht als isoedrisches Hexaeder realisieren lässt.

2.3.3 Jedes Viereck hat drei gleich lange Kanten

Auch dazu gibt es eine Lösung (Abb. 7). Wir werden sehen, dass sie sich als isoedrisches Hexaeder realisieren lässt.

Abb. 7: In jedem Seitenviereck dreimal grün und einmal rot

2.4 Alle Kanten gleich lang

Für zwölf gleich lange Kanten (Abb. 8) ist der Würfel die einfachste Realisierung. Es geht aber auch mit dem Rhombenhexaeder

Abb. 8: Alles rot

2.5 Zusammenfassung

Wir müssen die Fälle der Abbildung 9 auf Realisierbarkeit überprüfen.

Abb. 9: Offene Fälle

3 Drei verschiedene Kantenlängen

3.1 Konstruktion

Wir konstruieren im Fall A (Abb. 10) das rot-blaue Sechseck wie folgt.

Abb. 10: Rot-blaues Sechseck

Rechtwinklig zu einer senkrechten Achse (z-Achse) konstruieren wir zwei gleichseitige Dreiecke, welche gegeneinander um den Winkel π/3 + t verdreht sind (Abb. 11). Die Mittelpunkte der Dreiecke liegen auf der Achse und haben den Abstand 2h.

Abb. 11: Gleichseitige Dreiecke

Die Ecken der beiden Dreiecke verbinden wir im Zickzack mit roten und blauen Strecken (Abb. 12). Dies ist unser rot-blaues Sechseck.

Abb. 12: Rot-blaues Sechseck

Die Ebene durch eine blaue und die anschließende rote Strecke schneiden wir mit der Achse. Der Schnittpunt ist der Nordpol des gesuchten Hexaeders. Analog finden wir den Südpol mit einer Ebene durch eine rote und die anschließende blaue Strecke.

Den Nordpol verbinden wir mit den drei oberen Dreieckspunkten, den Südpol mit den drei unteren Dreieckspunkten (Abb. 13). Wenn wir die Vierecke oben ausfüllen, ergibts sich der Mantel einer Dreikantpyramide mit Zickzack-Basis. Ausfüllen der unteren Vierecke ergibt das Gegenstück dazu. Die Zicken des einen Pyramidenmantels sind die Zacken des anderen. Sie bilden je ein gleichseitiges Dreieck. Die beiden gleichseitigen Dreiecke sind zwar verdreht und auf verschiedenen Niveaus, aber kongruent.

Abb. 13: Verbindungen zu den Polen. Ausfüllen der Vierecke

Die beiden Pyramidenmäntel ergeben zusammen ein isoedrisches Hexaeder (Abb. 14).

Abb. 14: Isoedrisches Hexaeder

3.2 Symmetrien

Die senkrechte Achse ist eine dreizählige Drehsymmetrie-Achse des Hexaeders. Ferner gibt es drei zweizählige Achsen je durch den Mittelpunkt einer roten und der gegenüberliegenden blauen Strecke (Abb. 15).

Abb. 15: Symmetrieachsen

4 Sonderfälle

4.1 Verdrehung in die Mitte

Wir können der Verdrehung der beiden gleichseitigen Dreiecke den Wert t = 0 setzen, also genau um π/3 verdrehen (Abb. 16). Das zweite Dreieck kommt genau in die Mitte des ersten zu liegen. Von oben sehen wir einen Davidstern. Das rot-blaue Sechseck ist regelmäßig, die roten und die blauen Strecken sind gleich lang. Allerdings ist das rot-blaue Sechseck nicht eben. Es macht eine Berg- und Talfahrt.

Abb. 16: Sonderfall der Verdrehung

Der Hexaeder wird zu einem Rhombenhexaeder (Abb. 17), alle Kanten sind gleich lang. Damit ist der Fall C abgehakt.

Abb. 17: Rhombenhexaeder

Bei geeigneter Wahl von h (bezogen auf den Umkreisradius 1 der beiden gleichseitigen Dreiecke muss h = ½ √(½) gewählt werden) erhalten wir den Würfel (Abb. 18).

Abb. 18: Würfel

4.2 Variation des Abstandes der beiden gleichseitigen Dreiecke

Wir kehren zum Beispiel der Abbildung 14 zurück und variieren den Abstand 2h der beiden horizontalen Dreiecke (Abb. 19). Am Anfang ist die blaue Strecke deutlich länger als die grüne, am Schluss ist die grüne Strecke länger als die blaue. Nach dem Zwischenwertsatz muss es daher (mindestens) eine Position geben, wo die beiden Strecken gleich lang sind.

Abb. 19: Variation der Höhe

Die Abbildung 20 zeigt die Situation mit gleich langen blauen und grünen Strecken. Die blauen Strecken sind daher in grün umgefärbt. Damit ist der Fall B abgehakt.

Abb. 20: Drei gleich lange Strecken auf jeder Seitenfläche

5 Keine Drachen

Der Fall D (Abb. 21) lässt sich nicht als isoedrisches Hexaeder realisieren.

Abb. 21: Fall D

Dies kann wie folgt eingesehen werden.

Die Vierecke sind sogenannte Drachenvierecke, also Vierecke mit einer Diagonalen als Symmetrieachse.

Wir haben nun im Schlegel-Diagramm einerseits ein rotes Sechseck und andererseits zwei Punkte, von den je drei grüne Kanten ausgehen. Diese Punkte sind der Nordpol und ders Südpol. Je drei Drachenvierecke bilden den Mantel einer Dreikantpyramide mit Zickzack-Abschluss. Die drei Zicken und die drei Zacken einer Dreikantpyramide bilden je ein gleichseitiges Dreieck. Diese beiden Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn die Drachenvierecke Rhomben sind. Das ergibt aber den Fall eines Rhombenhexaeders (Abb. 17). Ein isoedrisches Hexaeder mit von Rhomben verschiedenen Drachenvierecken als Seitenflächen (also der Fall D) ist daher ausgeschlossen.

6 Inkugel

In einem isoedrischen Hexaeder haben die sechs Seitenflächen aus Symmetriegründen alle denselben Abstand vom Mittelpunkt. Daher hat das isoedrische Hexaeder eine Inkugel, welche alle Seitenflächen berührt (Abb. 22). Das isoedrische Hexaeder ist also das dreidimensionale Analogon zum Tangentenviereck.

Abb. 22: Inkugel

Weblinks

Hans Walser: Isoedrische Tetraeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Isoedrische_Tetraeder2/Isoedrische_Tetraeder2.html

Hans Walser: Isoedreische Tetraeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Isoedrische_Tetraeder/Isoedrische_Tetraeder.html