1 Worum es geht

Flächenzerlegung in der Figur von Knauth.

2 Achteck

In der Figur von Knauth (Abb. 1) sehen wir ein zentrales Achteck. Das Achteck ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig.

Abb. 1: Figur von Knauth mit Achteck

3 Problemstellung

Es ist zu zeigen, dass der Flächeninhalt des zentralen Achtecks ein Sechstel der Quadratfläche ausmacht.

4 Zwischenbemerkungen

Der Flächeninhalt des schräggestellten Quadrates (Abb. 2) ist ein Fünftel der großen Quadratfläche (klassische Schulaufgabe).

Abb. 2: Fünftel

Die orangen rechtwinkligen Dreiecke haben das Seitenverhältnis 3:4:5 (klassisches pythagoreisches Dreieck).

Die Teilverhältnisse auf einer „Halbdiagonalen“ sind rational, nämlich 12:3:5:4:6 (Abb. 3).

Abb. 3: Teilverhältnisse

5 Zählen statt denken

Für die einfachste Lösung unterteilen wir das Quadrat in 144 kongruente rechtwinklige Dreiecke mit dem Kathetenverhältnis 2:1 (Abb. 4).

Abb. 4: Unterteilung

Da vier solcher Dreiecke sich in einem kleinen Quadrat unterbringen lassen, können wir die Anordnung innerhalb des kleinen Quadrates auf verschiedene Weise abändern (Abb. 5).

Abb. 5: Anordnungen

Wir können daher die Unterteilung der Abbildung 4 partiell so abändern, dass sie mit dem zentralen Achteck kompatibel wird (Abb. 6).

Abb. 6: Abänderung der Unterteilung

Von den 144 rechtwinkligen Dreiecken befinden sich 24 im zentralen Achteck, also ein Sechstel.

6 Elegantere Lösungen

6.1 Stern

Im zentralen Achteck zeichnen wir einen gelben Stern und 16 rechtwinklige Dreiecke mit dem Kathetenverhältnis 2:1. Diese Teile kommen außerhalb des zentralen Achtecks je fünfmal vor.

Abb. 7: Elegante Lösung

In der Abbildung 8 sind die rechtwinkligen Dreiecke so gefärbt, dass gleich orientierte Dreiecke dieselbe Farbe haben. Das vereinfacht das Auszählen. Die blauen rechtwinkligen Dreiecke beispielsweise kommen im Achteck zweimal, außerhalb des Achtecks zehnmal vor.

Abb. 8: Färbung gemäß Orientierung

6.2 Sektor

In einem Achtel-Sektor zeichnen wir sechs kongruente Dreiecke (Abb. 9).

Abb. 9: Sechs kongruente Dreiecke

Eines der sechs Dreiecke liegt im zentralen Achteck, die fünf anderen außerhalb, zum Teil allerdings auch außerhalb des Quadrates. Wir können aber was vorsteht abschneiden und in die Lücke nebenan einfügen (Abb. 10). Entsprechend verfahren wir mit den restlichen Sektoren.