Hans Walser, [20250818]

Kreisdarstellung

1 Worum es geht

Verallgemeinerung der klassischen Parameterdarstellung des Einheitskreises.

2 Vorgehen

2.1 Einheitsvektoren

Zu n ∈ ℕ definieren wir eine Phasenverschiebung ϕ_k = kπ/n.

Weiter zeichnen wir n Einheitsvektoren e_k, k = 0, .. , (n – 1) , welche gegenüber der positiven x-Achse den Winkel ϕ_k = kπ/n einschließen (Abb. 1 für n = 7 ).

Für diese Einheitsvektoren gilt:

Abb. 1: Einheitsvektoren im Fächer

2.2 Linearkombination

Wir bilden mit den n Einheitsvektoren die Linearkombination:

Für t = 0 .. 2π ergibt sich der rote Kreis der Abbildung 2. Dieser Kreis ist nicht der Einheitskreis, sondern er hat den Radius n/2.

Abb. 2: Kreis

2.3 Skalierung

Wir müssen also noch mit dem Kehrwert von n/2 skalieren, um den Einheitskreis zu erhalten (Abb. 3).

Abb. 3: Skalierung

3 Beweis

Mit Hilfe der Additionstheoreme und der Formeln

erhalten wir:

Dies ist die klassische Parameterdarstellung für den Kreis mit dem Radius n/2 .

4 Sonderfälle

Für n = 2 ergibt sich die klassische Parameterdarstellung des Einheitskreises (Abb. 4). Der Skalierungsfaktor ist 1.

Abb. 4: Sonderfall

Für n = 1 erhalten wir nur eine Strecke (Abb. 5).

Abb. 5: Strecke

5 Stern

Wir können den Vektorenfächer durch einen Vektorenstern ersetzen (Abb. 6). Die Phasenverschiebung ist nun doppelt so groß, also ϕ_k = 2kπ/n.

Abb. 6: Stern statt Fächer

Mit derselben Linearkombination und derselben Skalierung ergibt ebenfalls der Einheitskreis (Abb. 7). Für n = 2 funktioniert es allerdings nicht, weil die beiden Vektoren dann linear abhängig sind.

Abb. 7: Stern und Einheitskreis

Auch mit der Phasenverschiebung ϕ_k = 4kπ/n geht es (Abb. 8). Die Vektoren im Stern sind nun in anderer Reihenfolge angeordnet.

Abb. 8: Verdoppelung der Phasenverschiebung

6 Phasenverschiebungen

Die Abbildung 9 zeigt die Grafen der Funktionen cos(t – ϕ_k), k = 0 .. (n – 1), ϕ_k = kπ/n für n = 7.

Abb. 9: Kosinuskurven mit Phasenverschiebungen

Die Summe dieser Funktionen zeigt eine große Schwingung (Abb. 10).

Abb. 10: Summenkurve

Bei der doppelt so großen Phasenverschiebung ϕ_k = 2kπ/n sieht die Sache ausgeglichener aus (Abb. 11).

Abb. 11: Regelmäßige Phasenverschiebung

Die Summenkurve ist daher null (Abb. 12).

Abb. 12: Summe null

Weblinks

Hans Walser: Einheitskreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Einheitskreis/Einheitskreis.html

Hans Walser: Schiefe Ellipse

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schiefe_Ellipse/Schiefe_Ellipse.html