Hans Walser, [20250906]
Kugeloberfläche
1 Worum es geht
Berechnung der Oberflächen bei verschiedenen Parameterbereichen der Kugelparametrisierung.
2 Abbildungsgleichungen
Wir arbeiten durchgehend mit denselben Abbildungsgleichungen, nämlich:
3 Klassisch
Der klassische Parameterbereich ist:
Dabei ist u die geografische Breite und wird in Süd-Nord-Richtung abgetragen (also senkrecht). Weiter ist v die geografische Länge, welche in West-Ost-Richtung (waagrecht) abgetragen wird (Abb. 1).
Abb. 1: Klassischer Parameterbereich
Die Abbildung 2 zeigt die zugehörige Kugel.
Abb. 2: Klassische Kugeldarstellung
Für den Flächeninhalt der Kugeloberfläche erhalten wir:
4 Hochformat
Wir arbeiten nun mit dem Parameterbereich:
Der Parameterbereich ist also im Hochformat (Abb. 3).
Abb. 3: Parameterbereich im Hochformat
Mit unseren Abbildungsgleichungen erhalten wir die Kugeldarstellung der Abbildung 4. Warum jetzt die eine Hälfte rot, die andere aber blau erscheint, werden wir demnächst verstehen.
Abb. 4: Kugeldarstellung beim Parameterbereich im Hochformat
Für den Flächeninhalt der Kugeloberfläche mit Parameterbereich im Hochformat erhalten wir:
Am Flächeninhalt der Kugeloberfläche ändert sich nichts.
5 Zwischenformat
Wir arbeiten versuchshalber mit einem Zwischenformat, nämlich:
Der Parameterbereich ist ein Quadrat (Abb. 5). Das Quadrat hat allerdings einen größeren Flächeninhalt als die Rechtecke der Parameterbereiche im Quer- und im Hochformat.
Abb. 5: Parameterbereich ein Quadrat
Die zugehörige Darstellung mit unseren Abbildungsgleichungen zeigt Lücken und Überlappungen (Abb. 6). In der räumlichen Darstellung wird diejenige Seite, in welche der durch die Parametrisierung definierte Normalvektor zeigt, rot, die andere blau gefärbt. An den Polen, also bei u = ± ½ π , kippt der Normalvektor und ändert daher die Farbe.
Abb. 6: Darstellung im Raum
Für den Flächeninhalt mit Doppelzählung bei den Überlappungen erhalten wir:
Dieser Flächeninhalt ist ≈ 3.879π , also kleiner als die Kugeloberfläche.
6 Noch ein Zwischenformat
Wir arbeiten mit dem Zwischenformat:
Die Abbildung 7 zeigt das Parameterrechteck. Es ist ein bisschen Hochformat.
Abb. 7: Parameterrechteck
Die Darstellung im Raum zeigt ebenfalls Lücken und Überlappungen (Abb. 8).
Abb. 8: Lücken und Überlappungen
Für den Flächeninhalt mit Doppelzählung bei den Überlappungen erhalten wir:
Interessanterweise „stimmt“ der Flächeninhalt.
7 Und jetzt mal systematisch
Wir transformieren den Parameterbereich mit einem Transformationsparameter t, der von 0 bis 1 läuft:
Bei dieser Transformation wird das Querformat (t = 0) in das Hochformat (t = 1) transformiert (Abb. 9). Die Bahnkurven der Ecken des Parameterbereiches sind gerade.
Abb. 9: Transformation des Parameterbereiches
Und jetzt im Raum (Abb. 10).
Abb. 10: Situation im Raum
Die Abbildung 11 gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Parameters t. Den Wert 4π erhalten wir für t = 0 (Querformat), t = ⅔ (Zwischenformat der Abb. 7 und 8) sowie t = 1 (Hochformat).
Abb. 11: Flächeninhalt
8 Modifikation
Wir modifizieren die Transformation des Parameterbereiches. Das Ziel ist, durchgehend den Flächeninhalt 4π zu erhalten.
Die Abbildung 12 zeigt die modifizierte Transformation. Die Bahnkurven der Ecken des Parameterbereiches sind nicht mehr gerade.
Abb. 12: Modifizierte Transformation des Parameterbereiches
In der Situation im Raum (Abb. 13) sieht man kaum einen Unterschied zur Abbildung 10.
Abb. 13: Situation im Raum
Die Abbildung 14 gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Parameters t. Der Flächeninhalt ist konstant 4π.
Abb. 14: Konstanter Flächeninhalt
Die Lösung der Gleichung
ist t ≈ 0.4798326106 und führt zu einem Parameterquadrat (Abb. 15) mit zugehörigem räumlichen Flächeninhalt 4π (Abb. 16).
Abb. 15: Parameterquadrat
Abb. 16: Flächeninhalt 4π
Weblinks
Hans Walser: Kugeloberfläche
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugeloberflaeche/Kugeloberflaeche.htm
Hans Walser: Parameterbereiche
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche4/Parameterbereiche4.html
Hans Walser: Parameterbereiche
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche3/Parameterbereiche3.html