Hans Walser, [20250817]

Parameterbereiche

1 Worum es geht

Verschiedene Kugeldarstellungen

2 Abbildungsgleichungen

Wir arbeiten durchgehend mit den Abbildungsgleichungen:

x₁ = cos(ϕ) cos(λ)

x₂ = cos(ϕ) sin(λ)

x₃ = sin(ϕ)

3 Klassische Parametrisierung

In der klassischen Parametrisierung der Einheitssphäre bedeuten ϕ ∈ [–π/2, π/2] und λ ∈ [–π, π] die geografische Breite beziehungsweise die geografische Länge (Abb. 1). Der Parameterbereich ist im Querformat.

Abb. 1: Geografische Breite geografische Länge

Die Einheitssphäre zeichnen wir zweifarbig, außen blau und innen rot (Abb. 2).

Abb. 2: Außen blau, innen rot

4 Hochformat

Wir arbeiten nach wie vor mit den Abbildungsgleichungen:

x₁ = cos(ϕ) cos(λ)

x₂ = cos(ϕ) sin(λ)

x₃ = sin(ϕ)

aber mit dem Parameterbereich im Hochformat, also ϕ ∈ [–π, π] und λ ∈ [–π/2, π/2] . Dies irritiert, funktioniert aber auch (Abb. 3).

Abb. 3: Parameterbereich im Hochformat

Bei der Zweifarbigkeit ändert sich aber die Relation innen/außen. Die Abbildung 4 zeigt die Situation bei Variation der geographischen Breite ϕ. Der Wechsel innen/außen findet jeweils beim Durchgang durch die Pole statt. An den Polen kreuzen sich die Meridiane, daher ändert die Flächenorientierung und damit die Farbgebung.

Abb. 4: Variation der geografischen Breite ϕ

Die Abbildung 5 zeigt die Situation von hinten und von oben.

Abb. 5: Sicht von hinten und von oben

5 Transformation des Parameterbereiches

Beim Parameterbereich im Querformat erhalten wir die volle Kugel, außen alles blau (Abb. 1). Beim Parameterbereich im Hochformat erhalten wir ebenfalls die volle Kugel, auf der Vorderseite blau und auf der Rückseite rot (Abb. 3).

5.1 Vom Querformat zum Hochformat

Wir transformieren nun den Parameterbereich vom Querformat zum Hochformat (Abb. 6). Für jede Zwischensituation des Parameterbereiches zeichnen wir durch die Abbildungsgleichungen definierte Figur. In der Start- und in der Endsituation haben wir die volle Kugeloberfläche. Für die Zwischensituationen ergeben sich Löcher auf der Rückseite der Kugeloberfläche.

Abb. 6: Vom Querformat zum Hochformat im Parameterbereich

Auf der Vorderseite der Kugel passiert nichts, auf der Rückseite einiges (Abb. 7).

Abb. 7: Vom Querformat zum Hochformat auf der Sphäre

Weblinks

Hans Walser: Parameterbereiche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche2/Parameterbereiche2.html

Hans Walser: Parameterbereiche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche/Parameterbereiche.html