Hans Walser, [20250913]

Parameterbereiche

Ausarbeitung einer Idee von Josef Kaenders

1 Worum es geht

Spielerei um die Parameterdarstellung der Einheitskugel.

2 Abbildungsgleichungen

Wir arbeiten durchwegs mit den Abbildungsgleichungen:

Dabei ist u die geografische Breite und v die geografische Länge.

In der Kartografie wird traditionellerweise die geografische Breite u als erste Koordinate gesehen, aber in der Karte senkrecht gezeichnet, die geografische Länge v ist die zweite Koordinate, wird aber waagerecht gezeichnet.

3 Klassische Parametrisierung. Querformat

Wir arbeiten mit dem Parameterbereich:

In der vu-Ebene haben wir also ein Rechteck im Querformat.

3.1 Parameterbereich und Kugel

Die Abbildung 1 zeigt den Parameterbereich und die zugehörige Kugel.

Abb. 1: Klassischer Parameterbereich

Die Abbildung 2 zeigt eine kinematische Darstellung mit Variation des Parameters u. Diejenige Seite der Kugeloberfläche, in welche der durch die Parametrisierung induzierte Normalvektor zeigt, ist rot gefärbt, die andere blau.

Abb. 2: Parameterbereich mit variabler geografischer Breite

3.2 Kartografie

Werden die Geodaten auf der Erdkugel gemäß der klassischen Parametrisierung auf den Parameterbereich übertragen, entsteht die sogenannte Plattkarte (Abb. 3).

Abb. 3: Plattkarte

4 Parameterbereich im Hochformat

Wir arbeiten nun mit dem Parameterbereich im Hochformat:

4.1 Parameterbereich und Kugel

Beim Durchgang durch die Pole springt der Normalvektor auf die andere Seite. Daher ergibt sich auf der Kugel dort ein Farbwechsel. Die Situation auf der Kugel wird von vorne und von hinten gezeigt.

Abb. 4: Parameterbereich im Hochformat

Am Schluss ist, von außen gesehen, die halbe Kugeloberfläche rot, die andere blau.

4.2 Kartografie

Die Abbildung 5 zeigt die zugehörige Karte.

Abb. 5: Weltkarte im Hochformat. Atlantiksicht und Pazifiksicht

Die gegenüber der Plattkarte links und rechts abgeschnittenen Teile sind oben und unten angesetzt, aber spiegelbildlich. In der Pazifik-Sicht sehen wir deutlich Ost- und Westküste des Pazifiks vertauscht.

5 Karo

Die Abbildung 6 zeigt einen Parameterbereich zwischen Querformat und Hochformat, ein auf einer Ecke stehendes Quadrat (Karo). Die Situation auf der Kugel wird von vorne und von hinten gezeigt. Die Grenzkurve zwischen rot und blau ist die Vivianische Kurve.

Abb. 6: Karo als Parameterbereich

Der Farbwechsel in der Abbildung 6 liegt auf einer vivianischen Kurve.

Eine vivianische Kurve ist die Schnittkurve der Kugel mit einem Zylinder, der den halben Kugelradius als Radius hat und eine Mantellinie auf der Kugelachse (Abb. 7).

Abb. 7: Vivianische Kurve

Die Abbildung 8 zeigt die zugehörige Karo-Karte. Der Rand der Karte liegt auf der vivianischen Kurve.

Abb. 8: Karo-Karte

Für eine schachbrettartige Anordnung von Karo-Karten muss jede zweite Karte gespiegelt werden (Abb. 9).

Abb. 9: Vier Welten

6 Übergang vom Querformat zum Hochformat

Wir versuchen nun, eine stetige Verformung des Parameterbereichs vom Querformat zum Hochformat zu finden, sodass die Kugel durchgehend (ohne Überlappung) bedeckt ist.

6.1 Abschneiden und Ansetzen

Die Abbildung 10 illustriert, wie bei Verwendung eines Viertelkreises als Schnittkurve ein Teil der Plattkarte abgeschnitten und wieder angesetzt werden muss. Das abgeschnittene Teil wird zunächst um 180° (im Sinne der geografischen Länge) nach Osten verschoben und dann nach oben gespiegelt. Die Gesamtoperation ist also eine Schubspiegelung und ändert die Orientierung.

Abb. 10: Abschneiden und Ansetzen einer Ecke

Insgesamt müssen vier Ecken abgeschnitten und entsprechend wieder angesetzt werden (Abb. 11).

Abb. 11: Abschneiden und Ansetzen

6.2 Verformen der Schnittkurve

Die Schnittkurve soll nun so verformt werden, dass wir in der Anfangsposition die Plattkarte im Querformat haben (Abb. 3) und in der Endposition die Karte im Hochformat (Abb. 5). Dies kann geschehen durch eine Kurve von der Art (Abb. 12):

Abb. 12: Verformen der Schnittkurve

6.3 Verformen des Parameterbereiches

Abb. 13: Verformung des Parameterbereiches

6.4 Situation auf der Kugel

Die Abbildung 14 zeigt die Situation auf der Kugel bei der Verformung.

Abb. 14: Situation auf der Kugel

Weblinks

Hans Walser: Kugelparametrisierung (Vortrag im Arbeitskreis Geometrie der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 06.09.2025, Saarbrücken)

https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20250905-07/index.html

Hans Walser: Parameterbereiche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche3/Parameterbereiche3.html

Hans Walser: Parameterbereiche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche2/Parameterbereiche2.html

Hans Walser: Parameterbereiche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parameterbereiche/Parameterbereiche.html

Hans Walser: Die vivianische Kurve in stereographischer Projektion – die Strophoide

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani/Viviani.htm

Hans Walser: Falscher Viertelkreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Falscher_Viertelkreis/Falscher_Viertelkreis.html

Hans Walser: Kugeltransformation

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kugeltransformation/Kugeltransformation.html