Hans Walser, [20240821]
k-Eck um n-Eck
Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz
1 Worum es geht
Einem regelmäßigen n-Eck (in den Abbildungen schwarz) soll ein gleichwinkliges k-Eck (in den Abbildungen rot) umbeschrieben werden.
Bildergalerie.
2 Vorbemerkungen
Ein gleichwinkliges Dreieck ist ein regelmäßiges Dreieck.
Ein gleichwinkliges Viereck ist ein Rechteck.
3 Beispiele
3.1 n = 3
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
3.2 n = 4
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
3.3 n = 5
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
3.4 n = 6
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
3.5 n = 7
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
3.6 Gemeinsame Teiler
Einem regelmäßigen 9-Eck wird ein gleichwinkliges 15-Eck umbeschrieben (Abb. 1).
Abb. 1: Neuneck und 15-Eck
Einem regelmäßigen 15-Eck wird ein gleichwinkliges 9-Eck umbeschrieben (Abb. 2).
Abb. 2: 15-Eck und Neuneck
3.7 Unregelmäßiges Startpolygon
Das schwarze Startpolygon braucht weder regelmäßig noch konvex zu sein (Abb. 3).
Abb. 3: Unregelmäßiges Startpolygon
4 Konstruktion
Wir illustrieren den Konstruktionsvorgang für ein umbeschriebenes gleichwinkliges Siebeneck. Wir beginnen mit einem rotierenden siebenteiligen gleichwinkligen Vektorfächer (Einheitsvektoren) (Abb. 4).
Abb. 4: Vektorfächer
Nun projizieren wir die Ecken des gegebenen schwarzen Polygons normal auf jeden der Vektoren. In der Abbildung 5 ist das für einen partikulären Vektor (grün) dargestellt.
Abb. 5: Normalprojektion
Wir wählen denjenigen projizierten Punkt, der in Pfeilrichtung am weitesten vom Zentrum entfernt ist. Durch diesen Punkt zeichnen wir die Normale zum Vektor. Dies gibt die Trägergerade für eine Seite des umbeschriebenen Polygons (Abb. 6).
Abb. 6: Normalen zu den Vektoren
5 Ausblick
Für nicht gleichwinklige umbeschriebene Polygone muss der Vektorfächer entsprechend abgeändert werden. Die Abbildung 7 zeigt ein umbeschriebenes Fünfeck mit den Innenwinkeln 90°, 135°, 90°, 135°, 90°.
Abb. 7: Ungleichwinkliges Polygon
Weblinks
Hans Walser: Mittelpunkt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mittelpunkt/Mittelpunkt.html
Hans Walser: Mittelpunkt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mittelpunkt2/Mittelpunkt2.html