Hans Walser, [20250717], [20250802]

Lissajous-Kurven im Raum

1 Definition

Analog zu den Lissajous-Kurven in der Ebene definieren wir Lissajous-Kurven im Raum wie folgt:

oder

Bemerkung: Durch eine geeignete Phasenverschiebung kann sin durch cos ersetzt werden.

2 Beispiele

2.1 Beispiel 1

Mit

erhalten wir die Kurve der Abbildung 1.

Abb. 1: Beispiel 1

Die Abbildung 2 zeigt spezielle Sichten. Diese Kurven können auch als Lissajous-Kurven in der Ebene gesehen werden.

Abb. 2.1: Sicht von vorne

Abb. 2.2: Sicht von der Seite

Abb. 2.3: Sicht von oben

Abb. 2.4: Animation mit Drehung

2.2 Schiefer Kreis

Mit

erhalten wir einen schief im Koordinatensystem liegenden Kreis (Abb. 3). Es ist zusätzlich die Kreisachse eingezeichnet. Der Kreis hat den Radius r:

Abb. 3: Schiefer Kreis

Die Abbildung 4 zeigt spezielle Sichten.

Abb. 4.1: Sicht in Richtung der Achse

Abb. 4.2: Sicht von der Seite

Abb. 4.3: Animation mit Rotation

2.3 Schiefe Ellipse

Mit

erhalten wir eine schief im Koordinatensystem liegende Ellipse (Abb. 5 für a = 0.8, b = 1.5, c = 2).

Abb. 5.1: Schiefe Ellipse

Abb. 5.2: Verschiedene Sichten der schiefen Ellipse

Der Normalvektor zur Ellipsenebene ist:

Die allgemeinen Formeln zur Bestimmung der Scheitelpunkte und Halbachsen der Ellipse aus a, b und c sind reichlich kompliziert. Für den Parameterwert t_spitz des einen spitzen Scheitels der Ellipse findet man:

Weblinks

Hans Walser: 3d-Lissajous

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/3/3d-Lissajous/3d-Lissajous.html

Hans Walser: nd-Kreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/N/nd-Kreis/nd-Kreis.htm

Hans Walser: Lissajous-Flächen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lissajous-Flaechen/Lissajous-Flaechen.html