Hans Walser, [20250819]

Phasenverschiebung

1 Worum es geht

Spiel mit Kosinus-Funktionen mit entgegengesetzter Phasenverschiebung

Tetraederähnlicher Körper im Raum

Orientierbarkeit von Flächen

2 Zwei Kosinus-Funktionen

Wir beginnen mit den beiden Funktionen:

g : t → cos(t – ϕ)

h : t → cos(t + ϕ)

Die Abbildung 1 zeigt die Funktionsgrafen für ϕ = π/6 . Der Funktionsgraf von g ist rot, derjenige von h blau gezeichnet. Eine negative Phasenverschiebung ergibt eine Verschiebung des Funktionsgrafen nach rechts.

Abb. 1: Funktionsgrafen

Wird die Phasenverschiebung ϕ vergrößert, wandert die rote Welle nach rechts, die blaue nach links (Abb. 2).

Abb. 2: Vergrößerung der Phasenverschiebung

Die Summe der beiden Funktionen führt zu einer stehenden Welle (grün in Abb. 3).

Abb. 3: Summe der beiden Funktionen

3 Ellipsen

3.1 Parameterkurve

Wir verwenden die beiden Funktionen als Koordinatenfunktion einer Parameterkurve mit dem Parameter t :

x : t → cos(t – ϕ)

y : t → cos(t + ϕ)

Die Abbildung 4 zeigt die die Parameterkurve für ϕ = π/6 . Es ist eine Ellipse.

Abb. 4: Ellipse

3.2 Ellipsenschar

Durch Variation der Phasenverschiebung ϕ entsteht eine Ellipsenschar (Abb. 5 und Abb. 6).

Abb. 5: Ellipsenschar

Abb. 6: Ellipsenschar in kinematischer Darstellung

3.3 Halbachsen und Flächeninhalt

In der Abbildung 7 sind der Pedanterie halber auch noch die Brennpunkte und die Halbachsen der Ellipsen eingezeichnet.

Abb. 7: Brennpunkte und Halbachsen

Für die Halbachsen a und b der Ellipse gilt:

a = √2 cos(ϕ)

b = √2 sin(ϕ)

Die Halbachsen a und b sind nicht der Größe nach geordnet. Die Halbachse a kann größer, gleich oder kleiner als die Halbachse b sein.

Für den Flächeninhalt A der Ellipse ergibt sich:

A = abπ = 2 cos(ϕ) sin(ϕ) π = sin(2ϕ) π

4 Auf in den Raum

4.1 Niveaulinien

Wir interpretieren die Ellipsen als Niveaulinien für die Niveaus der Phasenverschiebung ϕ . Die Abbildung 8 zeigt dies für die Niveaus ϕ = kπ/20, k ∈ {0, 1, 2, ... ,10} .

Abb. 8: Niveaulinien

Die Sicht von oben (Abb. 9) entspricht der Ellipsenschar der Abbildung 5.

Abb. 9: Sicht von oben

4.2 Figur

Die Niveaulinien gehören zur Oberfläche der Figur der Abbildung 10.

Abb. 10: Oberfläche einer Figur

Da die horizontalen Schnittellipsen der Figur den Flächeninhalt A = sin(2ϕ) π haben, ergibt sich für das Volumen V :

4.3 Modifikation durch Skalierung

Wir skalieren die Figur in der senkrechten Richtung mit dem Faktor 4/π ≈ 1.273 . Dadurch erhält die Figur die Höhe 2 und das Volumen V = 4 . Dann verschieben wir die Figur in der senkrechten Richtung um eine Einheit nach unten (Abb. 11 und Abb. 12).

Abb. 11: Figur

Abb. 12: Rotierende Figur

4.4 Würfel, Einheitskugel und Tetraeder

Die vier Ecken der Figur passen in jede zweite Ecke eines Würfels der Kantenlänge 2 (Abb. 13).

Abb. 13: Einpassen in Würfel

Dieser Würfel hat das Volumen 8. Unsere Figur mit dem Volumen 4 ist volumenmäßig halb so groß wie der Würfel. Der Autor findet dies erstaunlich, zumal die Figur den Einheitskreis als Äquator hat (Abb. 14).

Abb. 14: Einheitskreis als Äquator

Die Abbildung 15 zeigt die Relation zur Einheitskugel, der Inkugel des Würfels.

Abb. 15: Figur und Einheitskugel

Die Kanten des regelmäßigen Tetraeders mit denselben Ecken wie unsere Figur liegen auf der Oberfläche der Figur (Abb. 16).

Abb. 16: Tetraederkanten

Allerdings liegt der Tetraeder nicht vollständig innerhalb unserer Figur (Abb. 17).

Abb. 17: Tetraeder mit gelben Seitenflächen

Es gelten die Volumenverhältnisse:

Würfel : Figur : Tetraeder = 6 : 3 : 2

5 Zweifarbige Darstellung

5.1 Außen und innen

Wir zeichnen die Oberfläche der Figur zweifarbig, außen rot und innen blau (Abb. 18 und Abb. 19).

Abb. 18: Zweifarbige Darstellung der Figurenoberfläche

Abb. 19: Außen rot und innen blau

5.2 Selbstdurchdringung

Spannend wird es, wenn wir weiterfahren (Abb. 20 und Abb. 21).

Abb. 20: Weiter geht’s

Abb. 21: Noch weiter

Wir haben bei jeder horizontalen Kante einen Farbwechsel.

An den horizontalen Kanten durchdringt die Fläche sich selber. Was vorher außen war, wird nun innen.

5.3 Frage der Flächenorientierung

Damit können wir topologische Spielchen bauen. Das Schlüsselstück ist der Farbwechsel von Äquator zu Äquator (Abb. 22).

Abb. 22: Farbwechsel

An den beiden Äquatorkreisen können wir Rohrstücke ansetzen.

Bei einer geraden Anzahl von Schlüsselstücken ergibt sich eine orientierbare Fläche (Abb. 23).

Abb. 23: Orientierbare Fläche

Bei einer ungeraden Anzahl von Schlüsselstücken gibt es eine Fläche, welche nicht orientierbar ist (Abb. 24). Man kann sie nicht mit zwei Farben bemalen.

Abb. 24: Nicht-orientierbare Fläche

Weblinks

Hans Walser: Kreisdarstellung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreisdarstellung2/Kreisdarstellung2.html

Hans Walser: Schiefe Ellipse

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schiefe_Ellipse/Schiefe_Ellipse.html