Hans Walser, [20251027]
Quadratraster und Inkreis
Idee und Anregung: Achilles Iatropoulos, Leverkusen
1 Worum es geht
Gitterpunkte auf dem Inkreis eines gerasterten Quadrates
Pythagoreische Dreiecke
2 Konstruktionsbeispiel
In einem Quadrat zeichnen wir den Inkreis sowie ein 10×10-Raster (Abb. 1).
Abb. 1: Quadrat mit Inkreis und Raster
Der Inkreis verläuft durch insgesamt zwölf Rasterpunkte (Abb. 2).
Abb. 2: Zwölf Rasterpunkte auf Inkreis
Zum Beweis dient das pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 (Abb. 3).
Abb. 3: Pythagoreisches Dreieck
3 Vorgehen
Zu den Parametern u und v berechnen wir mit
a = u2 – v2 b = 2uv c = u2 + v2
das zugehörige pythagoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis a, b, c.
Das Quadrat wird nun in ein 2c×2c-Raster unterteilt. Die zwölf Gitterpunkte (±c, 0), (0, ±c), (±a, ±b), (±b, ±a) (die Einheit ist die Maschenweite des Rasters) liegen dann auf dem Inkreis.
In den Abbildungen 1 bis 3 wurde u = 2 und v = 1 gewählt.
Die Abbildung 4 zeigt die Situation für u = 3 und v = 2.
Abb. 4: u = 3 und v = 2
Es gibt unendlich viele pythagoreische Dreiecke und damit auch unendlich viele Lösungen dieser Art.
4 Mehr als zwölf Punkte auf dem Inkreis
Zunächst exemplarisch: Wir zeichnen die Situation für u = 4 und v = 3 (Abb. 5).
Abb. 5: u = 4 und v = 3
Das zugehörige pythagoreische Dreieck hat das Seitenverhältnis 7:24:25 . Im Einführungsbeispiel (Abb. 1, 2, 3) wurde mit u = 2 und v = 1 gearbeitet. Das zugehörige pythagoreische Dreieck hat das Seitenverhältnis 3:4:5. Wenn wir dieses Dreieck mit dem Längenfaktor 5 zentrisch strecken, passt es in die Figur der Abbildung 5. Für die Parameter heißt dies, dass wir mit u = 2√5 und v = √5 arbeiten müssen. (Die Formeln zur Berechnung des pythagoreischen Dreiecks sind homogen vom Grad 2 in den Parametern u und v ).
Die Abbildung 6 zeigt die Überlagerung der beiden Figuren. Wir haben jetzt 20 Gitterpunkte auf dem Inkreis.
Abb. 6: Zwanzig Gitterpunkte
5 Allgemein
Zu mehreren pythagoreischen Dreiecken können wir die Figuren mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beteiligten Hypotenusenlängen zentrisch strecken. Bei p pythagoreischen Dreiecken erhalten wir dann 4 + 8p Gitterpunkte auf dem Inkreis.
Weblinks
Hans Walser: Gitterpunkte spiegeln
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gitterpunkte_spiegeln/Gitterpunkte_spiegeln.html
Hans Walser: Quadratraster und Kreise
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratraster_und_Kreise/Quadratraster_und_Kreise.html