Hans Walser, [20251214]
Rationale Kugelpunkte
Anregung: Zouhair Ouaggag, Zürich
1 Worum es geht
Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Einheitskugel
Investigative Studie
Vivianische Kurve
2 Vorgehen
Wir beginnen mit einem pythagoreischen Dreieck mit den ganzzahligen Seiten a, b, c.
Der Quader mit den ganzzahligen Kantenlängen a2, ab und bc hat die ganzzahlige Raumdiagonalenlänge c2.
Bemerkung: Die Seitenflächendiagonalen bei Grund- und Deckfläche ist ac und damit ebenfalls ganzzahlig. Die übrigen Seitenflächendiagonalen sind nicht ganzzahlig.
Wir normieren die Raumdiagonalenlänge auf 1 und erhalten den Quader mit den rationalen Kantenlängen (a/c)2, ab/c2 und b/c.
Der Punkt mit den rationalen Koordinaten [(a/c)2, ab/c2, b/c] liegt also auf der Einheitskugel.
3 Beispiele
Wir parametrisieren die pythagoreischen Dreiecke in der üblichen Weise: Zu u > v, gcd(u, v) = 1 (teilerfremd) und modp((u – v), 2) = 1 (ungleiche Parität) setzen wir:
a = u2 – v2, b = 2uv, c = u2 + v2
Die Tabelle 1 gibt die ersten 31 Beispiele.
|
n |
u |
v |
a |
b |
c |
Rationale Koordinaten |
||
|
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
9/25 |
12/25 |
4/5 |
|
2 |
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
25/169 |
60/169 |
12/13 |
|
3 |
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
225/289 |
120/289 |
8/17 |
|
4 |
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
49/625 |
168/625 |
24/25 |
|
5 |
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
441/841 |
420/841 |
20/29 |
|
6 |
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
81/1681 |
360/1681 |
40/41 |
|
7 |
6 |
1 |
35 |
12 |
37 |
1225/1369 |
420/1369 |
12/37 |
|
8 |
6 |
5 |
11 |
60 |
61 |
121/3721 |
660/3721 |
60/61 |
|
9 |
7 |
2 |
45 |
28 |
53 |
2025/2809 |
1260/2809 |
28/53 |
|
10 |
7 |
4 |
33 |
56 |
65 |
1089/4225 |
1848/4225 |
56/65 |
|
11 |
7 |
6 |
13 |
84 |
85 |
169/7225 |
1092/7225 |
84/85 |
|
12 |
8 |
1 |
63 |
16 |
65 |
3969/4225 |
1008/4225 |
16/65 |
|
13 |
8 |
3 |
55 |
48 |
73 |
3025/5329 |
2640/5329 |
48/73 |
|
14 |
8 |
5 |
39 |
80 |
89 |
1521/7921 |
3120/7921 |
80/89 |
|
15 |
8 |
7 |
15 |
112 |
113 |
225/12769 |
1680/12769 |
112/113 |
|
16 |
9 |
2 |
77 |
36 |
85 |
5929/7225 |
2772/7225 |
36/85 |
|
17 |
9 |
4 |
65 |
72 |
97 |
4225/9409 |
4680/9409 |
72/97 |
|
18 |
9 |
8 |
17 |
144 |
145 |
289/21025 |
2448/21025 |
144/145 |
|
19 |
10 |
1 |
99 |
20 |
101 |
9801/10201 |
1980/10201 |
20/101 |
|
20 |
10 |
3 |
91 |
60 |
109 |
8281/11881 |
5460/11881 |
60/109 |
|
21 |
10 |
7 |
51 |
140 |
149 |
2601/22201 |
7140/22201 |
140/149 |
|
22 |
10 |
9 |
19 |
180 |
181 |
361/32761 |
3420/32761 |
180/181 |
|
23 |
11 |
2 |
117 |
44 |
125 |
13689/15625 |
5148/15625 |
44/125 |
|
24 |
11 |
4 |
105 |
88 |
137 |
11025/18769 |
9240/18769 |
88/137 |
|
25 |
11 |
6 |
85 |
132 |
157 |
7225/24649 |
11220/24649 |
132/157 |
|
26 |
11 |
8 |
57 |
176 |
185 |
3249/34225 |
10032/34225 |
176/185 |
|
27 |
11 |
10 |
21 |
220 |
221 |
441/48841 |
4620/48841 |
220/221 |
|
28 |
12 |
1 |
143 |
24 |
145 |
20449/21025 |
3432/21025 |
24/145 |
|
29 |
12 |
5 |
119 |
120 |
169 |
14161/28561 |
14280/28561 |
120/169 |
|
30 |
12 |
7 |
95 |
168 |
193 |
9025/37249 |
15960/37249 |
168/193 |
|
31 |
12 |
11 |
23 |
264 |
265 |
529/70225 |
6072/70225 |
264/265 |
Tab. 1: Erste Beispiele
Die Abbildung 1 zeigt die zugehörigen 31 Punkte auf der Einheitskugel im ersten Oktanten.
Abb. 1: Rationale Punkte auf der Einheitskugel
4 Vivianische Kurve
Die Punkte liegen auf einer Kurve (Abb. 2), nämlich der vivianischen Kurve.
Abb. 2: Vivianische Kurve
5 Beweis
Wir setzen
β = arctan(b/a)
Der Winkel β ist also ein Winkel im ursprünglichen pythagoreischen Dreieck.
Aus
tan(β) = b/a
ergibt sich:
cos(β) = a/c
sin(β) = b/c
Damit ist:
[cos2(β), cos(β) sin(β), sin(β)] = [(a/c)2, ab/c2,
b/c]
Unsere Punkte mit
rationalen Koordinaten können also durch [cos2(β), cos(β) sin(β), sin(β)] beschrieben
werden.
Andererseits ist
[cos2(t), cos(t) sin(t), sin(t)]
eine
Parameterdarstellung der vivianischen Kurve.
Unsere Punkte mit
rationalen Koordinaten liegen also auf der vivianischen Kurve. Es gibt
allerdings auch Punkte mit nicht rationalen Koordinaten auf der vivianischen
Kurve. Zum Beispiel ergeben sich für t = π/4 die Koordinaten [½, ½, ½√2].
Dies ist ein Punkt mit nicht durchgehend rationalen Koordinaten auf der
vivianischen Kurve.
6
Reihenfolge
Gemäß unserer
Konstruktion mit den pythagoreischen Dreiecken werden die Punkte nicht der
Reihe nach auf die vivianische Kurve gezeichnet, sondern springen hin und her
(Abb. 3).
Abb. 3:
Reihenfolge der ersten 31 Punkte
7
Gesamte
vivianische Kurve
Mit
Vorzeichenkombinationen [±(a/c)2, ±ab/c2,
±b/c] (Spiegeln an den Koordinatenebenen) kommen wir auf die gesamte
vivianische Kurve (Abb. 4).
Abb. 4: Alle
acht Oktanten
8 Bemerkung
Es gibt Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Einheitskugel, welche nicht auf der vivianischen Kurve liegen, zum Beispiel der Punkt mit den Koordinaten [⅔, ⅔, ⅓].
Weblinks
Hans Walser: Rationale Kreispunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kreispunkte/Rationale_Kreispunkte.html
Hans Walser: Vivianische Kurve
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve/Vivianische_Kurve.html