Hans Walser, [20251215]
Rationale Kugelpunkte
Anregung: Zouhair Ouaggag, Zürich
1 Worum es geht
Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Einheitskugel
Investigative Studie
2 Konstruktion
Wir wählen ganzzahlige u und v mit u > v, gcd(u, v) = 1 (teilerfremd) und modp((u – v), 2) = 1 (ungleiche Parität).
Da u und v ungleiche Parität haben, ist u2 + v2 ungerade, also u2 + v2 = 2w + 1. Wir setzen:
w
= ½ (u2 + v2 – 1)
d = ½ (u2
+ v2 + 1)
Der Quader mit den ganzzahligen Kantenlängen u, v und w hat die ganzzahlige Diagonalenlänge d. Beweis durch Nachrechnen.
Wir normieren nun die Diagonalenlänge auf 1. Dann sind
(u/d, v/d, w/d)
rationale Koordinaten eines Punktes auf der Einheitskugel.
3 Beispiele
Die Tabelle 1 gibt einige Beispiele. Wir sehen, dass die dritte Koordinate, also w/d sich in der Nähe von 1 häuft. Unsere Konstruktion ist nicht ausgeglichen.
|
n |
u/d |
v/d |
w/d |
|
1 |
2/3 |
1/3 |
2/3 |
|
2 |
3/7 |
2/7 |
6/7 |
|
3 |
4/9 |
1/9 |
8/9 |
|
4 |
4/13 |
3/13 |
12/13 |
|
5 |
1/3 |
2/15 |
14/15 |
|
6 |
5/21 |
4/21 |
20/21 |
|
7 |
6/19 |
1/19 |
18/19 |
|
8 |
6/31 |
5/31 |
30/31 |
|
9 |
7/27 |
2/27 |
26/27 |
|
10 |
7/33 |
4/33 |
32/33 |
|
11 |
7/43 |
6/43 |
42/43 |
|
12 |
8/33 |
1/33 |
32/33 |
|
13 |
8/37 |
3/37 |
36/37 |
|
14 |
8/45 |
1/9 |
44/45 |
|
15 |
8/57 |
7/57 |
56/57 |
|
16 |
9/43 |
2/43 |
42/43 |
|
17 |
9/49 |
4/49 |
48/49 |
|
18 |
9/73 |
8/73 |
72/73 |
|
19 |
10/51 |
1/51 |
50/51 |
|
20 |
2/11 |
3/55 |
54/55 |
|
21 |
2/15 |
7/75 |
74/75 |
|
22 |
10/91 |
9/91 |
90/91 |
|
23 |
11/63 |
2/63 |
62/63 |
|
24 |
11/69 |
4/69 |
68/69 |
|
25 |
11/79 |
6/79 |
78/79 |
|
26 |
11/93 |
8/93 |
92/93 |
|
27 |
11/111 |
10/111 |
110/111 |
|
28 |
12/73 |
1/73 |
72/73 |
|
29 |
12/85 |
1/17 |
84/85 |
|
30 |
12/97 |
7/97 |
96/97 |
|
31 |
12/133 |
11/133 |
132/133 |
Tab. 1: Beispiele
Die Abbildung 1 zeigt die Punkte der Tabelle 1 auf der Einheitskugel im ersten Oktanten. Wir sehen auch hier die Häufung am Nordpol.
Abb. 1: Rationale Punkte auf der Einheitskugel
Durch Vertauschen der Koordinaten (3! = 6 Möglichkeiten) ergibt sich eine etwas gleichmäßigere Verteilung (Abb. 2).
Abb. 2: Vertauschen der Koordinaten
Durch Spiegeln an den Koordinatenebenen (negative Vorzeichen bei Koordinaten) erhalten wir Punkte mit rationalen Koordinaten auf der gesamten Kugel (Abb. 3). In der Abbildung 3 wurde auch die Anzahl der berechneten Punkte erhöht. Es sind insgesamt 24 864 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten eingezeichnet.
Abb. 3: Auf der gesamten Kugel
Die Abbildung 4 gibt die Sicht auf einen Pol.
Abb. 4: Sicht auf einen Pol
4 Bemerkung
Es gibt noch weitere Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Kugel. Unsere Konstruktion ist nicht erschöpfend.
Weblinks
Hans Walser: Rationale Kugelpunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kugelpunkte/Rationale_Kugelpunkte.html
Hans Walser: Rationale Kreispunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kreispunkte/Rationale_Kreispunkte.html