Hans Walser, [20251229]
Teilbarkeit durch 3
1 Eine Anekdote
Da erhielt ich eine Zuschrift mit dem Inhalt
240/3 = 366503875925
und versehen mit dem Kommentar: Es gebe durch drei teilbare Zweierpotenzen. Nun müsse die Geschichte der Mathematik neu geschrieben werden. Folgende Mathematiker hätten sich geirrt. Es folgte eine Liste mit Mathematikern von Leibniz bis Frege.
Eine Rückfrage ergab, dass ein Rechner verwendet wurde, der beim Exponenten 40 das Ergebnis auf eine ganze Zahl rundete.
Bei meinem Rechner ergibt sich das Resultat 366503875925.333.
2 Korrekturglied
Wir nehmen eine Fallunterscheidung ungerade/gerade vor.
2.1 Ungerader Exponent
Es sei u eine ungerade Zahl. Dann ist 2u + 1 durch 3 teilbar. Beispiel u = 5. Dann ist 25 + 1 = 33 durch 3 teilbar.
2.2 Gerader Exponent
Es sei g eine gerade Zahl. Dann ist 2g – 1 durch 3 teilbar. Beispiel g = 6. Dann ist 26 – 1 = 63 durch 3 teilbar.
3 Konsistente Formel
Für eine natürliche Zahl n ist
2n – (–1)n
durch 3 teilbar.
4 Hintergrund
Allgemein gilt:
an – bn = (a
– b) (an–1 + an–2b
+ an–3b2 + an–4b3
+ … + bn–1)
Dies kann durch
Ausmultiplizieren bestätigt werden.
Für a = 2 und
b = –1 ergibt sich:
2n – (–1)n
= 3 (2n–1 – 2n–2 + 2n–3
– 2n–4 + … ± 1)
Damit ist 2n – (–1)n durch 3 teilbar.
5
Illustration
Die Abbildung 1
illustriert spaltenweise die Zweierpotenzen 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... . Es ist
unten rot und oben gelb.
Abb. 1:
Zweierpotenzen
In der Abbildung 2
wird das Korrekturglied einbezogen. Es ist unten und oben rot.
Wir erhalten die Folge 3, 3, 9, 15, 33, 63, ... .
Diese Zahlen sind durch 3 teilbar.
Abb. 2:
Zweierpotenzen mit Korrekturglied
Weblinks
Hans Walser: Teilbarkeit durch 3
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3/Teilbarkeit_durch_3.htm
Hans Walser: Teilbarkeit durch 3
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3_2/Teilbarkeit_durch_3_2.htm