1 Worum es geht

Spielerei mit gleichseitigen Dreiecken

Sonderfall und Paraphrase zum Satz von Napoleon-Barlotti und zum Satz von Thébault-Yaglom.

2 Konstruktion

Wir beginnen mit einem punktsymmetrischen Sechseck (Abb. 1).

Abb. 1: Punktsymmetrisches Sechseck

Jeder zweiten Seite des punktsymmetrischen Sechsecks setzen wir ein gleichseitiges Dreieck an (gelb Abb. 2).

Abb. 2: Gleichseitige Dreiecke

Die äußeren Spitzen dieser gleichseitigen Dreiecke sind die Ecken eines neuen gleichseitigen Dreiecks (rot in Abb. 3).

Abb. 3: Rotes gleichseitiges Dreieck

Funktioniert auch, wenn wir die gelben gleichseitigen Dreiecke nach innen ansetzen (Abb. 4).

Abb. 4: Dreiecke nach innen ansetzen

Für das äußere und das innere rote Dreieck habe ich keinen Bezug gefunden (Abb. 5). Die beiden roten Dreiecke sind gegengleich orientiert.

Abb. 5: Beide Fälle

3 Beweise

a) Mit Hilfe des Satzes von Napoleon-Barlotti

b) Rechnerisch in der Ebene der komplexen Zahlen

4 Verklausulierte Version

4.1 Seiten dritteln

Wir beginnen mit einem beliebigen Dreieck und dritteln seine Seiten (Abb. 6).

Abb. 6: Dreieck mit gedrittelten Seiten

Den Drittelpunkten setzen wir gleichseitige Dreiecke an (gelb in Abb. 7).

Abb. 7: Gleichseitige Dreiecke ansetzen

Die dritten Ecken der gleichseitigen Dreiecke bilden ein gleichseitiges Dreieck (rot in Abb. 8).

Abb. 8: Gleichseitiges Dreieck

Hintergrund: Die Drittelpunkte definieren ein punktsymmetrisches Sechseck.

4.2 Spat

Wir beginnen mit der Parallelprojektion eines Spates (Abb. 9).

Abb. 9: Spat

Wir markieren zwei gegenüberliegende Eckpunkte und die in diese Eckpunkte einmündenden sechs Kanten (grün in Abb. 10). Die verbleibenden sechs schwarzen Kanten bilden das sogenannte Petrie-Polygon.

Abb. 10: Markierungen

Auf jeder zweiten Kante des Petrie-Polygons setzen wir ein gleichseitiges Dreieck an (gelb in Abb. 11).

Abb. 11: Dreiecke ansetzen

Die äußeren Dreiecksecken bilden ihrerseits ein gleichseitiges Dreieck (rot in Abb. 12).

Abb. 12: Gleichseitiges Dreieck

Hintergrund: Das Petrie-Polygon ist ein punktsymmetrisches Sechseck.

Weblinks

Hans Walser: Gemeinsame Ecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gemeinsame_Ecke/Gemeinsame_Ecke.html

Hans Walser: Kongruente Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kongruente_Dreiecke/Kongruente_Dreiecke.html