Hans Walser, [20260902]

Vierter Schnittpunkt

Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz, Aufgabe Serie 73 – 870

1 Worum es geht

Gemeinsame Schnittpunkte verschiedener Kegelschnitte

2 Konstruktion

Wir beginnen mit drei schwarzen Punkten (Abb. 1).

Abb. 1: Drei Punkte

3 Kegelschnitte

Zu diesen drei Punkten passen wir Kegelschnitte ein.

3.1 Kreis

Der Kreis ist durch die drei Punkte eindeutig bestimmt (Abb. 2).

Abb. 2: Kreis

3.2 Parabeln

3.2.1 Stehende Parabel

Die stehende Parabel (in unserem Beispiel nach unten offen) ist durch die drei Punkte eindeutig bestimmt (Abb. 3).

Abb. 3: Stehende Parabel

3.2.2 Liegende Parabel

Die liegende Parabel ist durch die drei Punkte eindeutig bestimmt (Abb. 4).

Abb. 4: Liegende Parabel

3.3 Ellipsen

3.3.1 Liegende Ellipse

Bei einer liegenden Ellipse ist die lange Achse horizontal. Die liegende Ellipse ist durch drei Punkte nicht eindeutig bestimmt. In unserem Beispiel wurde zusätzlich die Länge der langen Achse mit 7 vorgegeben (Abb. 5).

Abb. 5: Liegende Ellipse

3.3.2 Stehende Ellipse

Bei einer stehenden Ellipse ist die lange Achse vertikal. Die stehende Ellipse ist durch drei Punkte nicht eindeutig bestimmt. In unserem Beispiel wurde zusätzlich die Länge der langen Achse mit 8 vorgegeben (Abb. 6).

Abb. 6: Stehende Ellipse

3.4 Hyperbeln

3.4.1 Liegende Hyperbel

Bei einer liegenden Hyperbel liegen die beiden Brennpunkte auf einer horizontalen Geraden. Die liegende Hyperbel ist durch drei Punkte nicht eindeutig bestimmt. In unserem Beispiel wurde zusätzlich der halbe Abstand zwischen den Scheiteln mit 1 vorgegeben (Abb. 7).

Abb. 7: Liegende Hyperbel

3.4.2 Stehende Hyperbel

Bei einer stehenden Hyperbel liegen die beiden Brennpunkte auf einer vertikalen Geraden. Die stehende Hyperbel ist durch drei Punkte nicht eindeutig bestimmt. In unserem Beispiel wurde zusätzlich der halbe Abstand zwischen den Scheiteln mit 0.9 vorgegeben (Abb. 7).

Abb. 8: Stehende Hyperbel

Soweit die Fleißarbeit.

4 Überlagerung

Wir überlagern die sieben Kegelschnitte (Abb. 9).

Abb. 9: Überlagerung

5 Der vierte Punkt

Die sieben Kegelschnitte haben einen vierten Punkt gemeinsam (magenta in Abb. 10).

Abb. 10: Der vierte Punkt

6 Unabhängigkeit von Achsenlängen

Wir hatten zum Beispiel die lange Achse der liegenden Ellipse frei gewählt. Diese Wahl hat aber keinen Einfluss auf die Position des vierten Punktes. Wir können die Länge der Achse variieren (Abb. 11).

Abb. 11: Variation der langen Achse

7 Konstruktion des vierten Punktes

Die drei Punkte zusammen mit dem vierten Punkt bilden ein Sehnenviereck. Der Umkreis des Sehnenvierecks ist durch die drei gegebenen Punkte gegeben.

Die beiden Diagonalen des Sehnenvierecks haben gegenüber der x-Achse entgegengesetzte Steigungen (Abb. 12). Damit lässt sich der vierte Punkt konstruieren.

Abb. 12: Entgegengesetzte Steigungen der Diagonalen

Ebenso haben gegenüberliegende Seiten des Sehnenviereckes entgegengesetzte Steigungen (Abb. 13 und Abb. 14). Auch damit lässt sich der vierte Punkt konstruieren.

Abb. 13: Entgegengesetzte Steigungen gegenüberliegender Seiten

Abb. 14 Entgegengesetzte Steigungen gegenüberliegender Seiten

Weblinks

Thomas Jahre

https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/wochenaufgabe/870.jpg

Hans Walser: Zwei Ellipsen und ein Kreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwei_Ellipsen_und_ein_Kreis/Zwei_Ellipsen_und_ein_Kreis.html

Hans Walser: Zwei Parabeln und ein Kreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwei_Parabeln_und_ein_Kreis/Zwei_Parabeln_und_ein_Kreis.html