1 Worum es geht

Deformation eines Würfels zum Oktaeder und umgekehrt.

2 Kuboktaeder

Werden die Kantenmitten eines Würfels geeignet verbunden, entsteht das Kuboktaeder (Abb. 1). Das Kuboktaeder hat 24 Kanten. Alle sind gleich lang.

Für rechnerische Zwecke normieren wir die Kantenlänge des Würfels auf 2. Das Kuboktaeder hat damit die Kantenlänge √2.

Abb. 1: Würfel und Kuboktaeder

3 Drehbare Ebenen

Wir fügen zu jeder Kante eine Ebene, welche um die Kante drehbar ist. Wir schneiden diese Ebenen mit den benachbarten Ebenen. Die Schnittfiguren sind Drachenvierecke, also Vierecke mit einer Diagonalen als Symmetrieachse. Die andere Diagonale, also nicht die Symmetrieachse, sondern die dazu senkrecht stehende Diagonale ist eine Kante des Kuboktaeders. Bei gleicher Drehposition aller Ebenen haben wir ein Polyeder mit 24 kongruenten Drachenvierecken als Seitenflächen (Abb. 2).

Abb. 2: Polyeder mit Drachenvierecken

Durch Drehen der Ebenen um gleiche Winkel verändern die Drachenvierecke ihre Form (Abb. 3). Die Ebenen werden insgesamt um 45° verdreht. Die Kuboktaederkanten können natürlich auch weggelassen werden.

Abb. 3: Drehen der Ebenen

Der Polyeder variiert vom Würfel (Ausgangslage, Drehwinkel 0°) zum Oktaeder (Endlage, Drehwinkel 45°).

4 Inkugel

Die Ebenen haben jeweils alle denselben Abstand vom Mittelpunkt. Der Polyeder hat daher eine Inkugel (Abb. 4).

Abb. 4: Inkugel

Der Berührungspunkt der Inkugel mit den Seitenflächen ist auf der Symmetrieachse der Drachenvierecke (Abb. 5).

Abb. 5: Berührungspunkte

Der Inkugelradius r variiert in Abhängigkeit des Drehwinkels ϕ. Es ist:

r(ϕ) = (1 + tan(ϕ))/√(1 + 2*tan(ϕ)²)

Den maximalen Inkugelradius erhalten wir für ϕ = arctan(½) ≈ 0.464 (Abb. 6).

Abb. 6: Größte Inkugel

Die Berührpunkte liegen in diesem Fall im Diagonalen-Schnittpunkt der Drachenvierecke. Die maximale Inkugel ist auch die Kantenberührkugel des Kuboktaeders (Abb. 7).

Abb. 7: Kantenberührkugel des Kuboktaeders

Der Polyeder hat keine Umkugel.

5 Überdrehen

Beim Überdrehen entstehen Sternfiguren (Abb. 8). Aus Platzgründen mussten die Sternspitzen teilweise gestutzt werden.

Abb. 8: Sterne

Weblinks

Hans Walser: Würfel und Oktaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_und_Oktaeder/Wuerfel_und_Oktaeder.htm

Hans Walser: Würfel und Oktaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_und_Oktaeder2/Wuerfel_und_Oktaeder2.htm