Hans Walser, [20260219]
Wurzel-5-Dreieck
1 Worum es geht
Eckige logarithmische Spirale
Pythagoreische Dreiecke
2 Die Spirale
Aus rechtwinkligen Dreiecken mit dem Kathetenverhältnis 2:1 bauen wir eine Spirale (Abb. 1). Es handelt sich um eine eckige logarithmische Spirale.
Abb. 1: Eckige logarithmische Spirale
Nun zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck ein wie folgt (grün in Abb. 2): Eine Ecke ist die zweite Außenecke der Spirale (Nummerierung beginnt mit null), eine weitere Ecke das Zentrum der Spirale. Die Ecke mit dem rechten Winkel ergibt sich durch Normalprojektion von der Außenecke auf die Horizontale durch das Zentrum.
Dieses grüne Dreieck hat das Seitenverhältnis 3:4:5, ist also pythagoreisch.
Abb. 2: Pythagoreisches Dreieck
Mit jeder weiteren zweiten Ecke der Spirale erhalten wir ein pythagoreisches Dreieck (Abb. 3).
Abb. 3: Pythagoreische Dreiecke
3 Rechnerischer Hintergrund
Wir arbeiten in der Ebene der komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene). Die Außenecken An generieren wir rekursiv:
A0 = 2
An = An–1(1 + ½ i)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte. Real- und Imaginärteil sind rational.
|
n |
Außenecke |
|
0 |
2 |
|
1 |
2 + i |
|
2 |
3/2 + 2i |
|
3 |
1/2 + (11/4)i |
|
4 |
–7/8 + 3i |
|
5 |
–19/8 + (41/16)i |
|
6 |
–117/32 + (11/8)i |
|
7 |
–139/32 – (29/64)i |
|
8 |
–527/128 – (21/8)i |
|
9 |
–359/128 – (1199/256)i |
|
10 |
–237/512 – (779/128)i |
|
11 |
1321/512 – (6469/1024)i |
|
12 |
11753/2048 – (1287/256)i |
|
13 |
16901/2048 – (8839/4096)i |
|
14 |
76443/8192 + (4031/2048)i |
Tab. 1: Außenecken
In der Tabelle 2 ist zusätzlich der Betrag der komplexen Zahlen angegeben, also der Abstand vom Zentrum.
|
n |
Außenecke |
Abstand vom Zentrum |
|
0 |
2 |
2 |
|
1 |
2 + i |
√5 |
|
2 |
3/2 + 2i |
5/2 |
|
3 |
1/2 + (11/4)i |
(5/4) √5 |
|
4 |
–7/8 + 3i |
25/8 |
|
5 |
–19/8 + (41/16)i |
(25/16) √5 |
|
6 |
–117/32 + (11/8)i |
125/32 |
|
7 |
–139/32 – (29/64)i |
(125/64) √5 |
|
8 |
–527/128 – (21/8)i |
625/128 |
|
9 |
–359/128 – (1199/256)i |
(625/256) √5 |
|
10 |
–237/512 – (779/128)i |
3125/512 |
|
11 |
1321/512 – (6469/1024)i |
(3125/1024) √5 |
|
12 |
11753/2048 – (1287/256)i |
15625/2048 |
|
13 |
16901/2048 – (8839/4096)i |
(15625/4096) √5 |
|
14 |
76443/8192 + (4031/2048)i |
78125/8192 |
Tab. 2: Abstand von Zentrum
Bei jeder zweiten Ecke ist der Abstand rational. Dies führt zu einem pythagoreischen Dreieck.
Durch geeignetes Erweitern können die Seitenverhältnisse ganzzahlig gemacht werden (Tab. 3). Bei den Hypotenusen der pythagoreischen Dreiecke erscheinen die Potenzen von 5.
|
n |
a |
b |
c |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
√5 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
2 |
11 |
5√5 |
|
4 |
–7 |
24 |
25 |
|
5 |
–38 |
41 |
25√5 |
|
6 |
–117 |
44 |
125 |
|
7 |
–278 |
–29 |
125√5 |
|
8 |
–527 |
–336 |
625 |
|
9 |
–718 |
–1199 |
625√5 |
|
10 |
–237 |
–3116 |
3125 |
|
11 |
2642 |
–6469 |
3125√5 |
|
12 |
11753 |
–10296 |
15625 |
|
13 |
33802 |
–8839 |
15625√5 |
|
14 |
76443 |
16124 |
78125 |
Tab. 3: Ganzzahlige Seitenverhältnisse bei jeder zweiten Ecke
Weblinks
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke 17
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke17/Pyth_Dreiecke17.html
Hans Walser: Wurzel-5-Dreieck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wurzel-5-Dreieck/Wurzel-5-Dreieck.html
Literatur
Walser, Hans (2022): Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren. Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen. Springer Spektrum. ISBN 978-3-662-65131-5 und ISBN 978-3-662-65132-2 (eBook).
Walser, Hans (2024): Spirals,
Helical Lines, and Spiral-Like Figures. Mathematical Playfulness in Two and
Three Dimensions. Springer.
ISBN 978-3-662-68930-1, ISBN 978-3-662-68931-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68931-8