1 Worum es geht

Zerlegung von regelmäßigen Zwölfecken der Seitenlänge n in gleichseitige Dreiecke und Quadrate gleicher Seitenlänge

2 Klassisches Zwölfeck

Die Abbildung 1 zeigt eine Zerlegung des regelmäßigen Zwölfecks in gleichseitige zwölf Dreiecke und sechs Quadrate gleicher Seitenlänge.

Abb. 1: Regelmäßiges Zwölfeck der Seitenlänge 1

3 Ringe

Die Abbildung 2 zeigt zunächst einen Ring, dessen Innenkontur dem Umriss des regelmäßigen Zwölfecks der Seitenlänge 1 (Abb. 1) entspricht. Die Außenkontur ist allerdings kein regelmäßiges Zwölfeck. Die Seiten haben alternierend die Längen 1 und 2.

Der zweite Ring in der Abbildung 2 hat umgekehrt als Innenkontur ein Zwölfeck mit alternierenden Seitenlängen 1 und 2. Die Außenkontur ist ein regelmäßiges Zwölfeck mit der Seitenlänge 2.

Abb. 2: Ringe

Die beiden Ringe können ineinandergesteckt werden und bilden dann einen Doppelring, dessen Innenkontur wie auch die Außenkontur je ein regelmäßiges Zwölfeck bilden.

Analog können wir zu jeder Seitenlänge einen solchen Doppelring konstruieren (Abb. 3 bis Abb. 5).

Abb. 3: Äußere Seitenlänge 3

Abb. 4: Äußere Seitenlänge 4

Abb. 5: Äußere Seitenlänge 5

Diese Doppelringe sind alle nach demselben Muster gebaut. Wir können zu jeder Seitenlänge n einen solchen Doppelring bauen.

4 Kombinationen

Wir können nun solche Doppelringe zusammenstecken und erhalten so eine Zerlegung eines regelmäßigen Zwölfecks der Seitenlänge n.

Zwei Doppelringe können aber auf zwei verschiedene Arten zusammengesteckt werden (Abb. 6).

Abb. 6: Zwei Arten des Zusammensteckens

Im zweiten Beispiel ist der äußere Doppelring um 30° verdreht worden.

Bei einem Zwölfeck der Seitenlänge n sind, das innerste Zwölfeck mitgezählt, insgesamt n Doppelringe im Spiel. Wir haben also n – 1 mal (Zaunpfahlproblem) die Möglichkeit einer relativen Verdrehung. Nach unserem Verfahren gibt es also 2ⁿ^–1 mögliche Zerlegungen. Die Abbildungen 7 und 8 zeigen zwei Extremlösungen.

Abb. 7: Lösung ohne Verdrehungen

Abb. 8: Lösung mit vier relativen Verdrehungen

Weblinks

Hans Walser: Zwölfeck-Zerlegung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck-Zerlegung/Zwoelfeck-Zerlegung.html

Hans Walser: Dodecagon Dissection

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck-Zerlegung/Dodecagon_Dissection.html