Hans Walser, [20250739]
Ellipse als Kreisüberlagerung
Anfrage: R. G.
1 Worum es geht
Ellipse als Bahnkurve der Überlagerung zweier gegenläufiger Kreisbewegungen
Ellipsenzirkel
2 Konstruktion
2.1 Kreis mit Punkt
Wir beginnen mit einem sich drehenden Kreis, auf dessen Rand wir einen Punkt notieren (Abb. 1).
Abb. 1: Kreis mit Punkt
2.2 Zweiter Kreis
Wir zeichnen einen zweiten Kreis mit einem Punkt auf dem Rand. Der Mittelpunkt dieses zweiten Kreises ist der Randpunkt des ersten Kreises. Wir haben also eine Kreisüberlagerung. Der zweite Kreis dreht entgegengesetzt gleich zum ersten Kreis (Abb. 2).
Abb. 2: Kreisüberlagerung
2.3 Die Ellipse
Die Bahnkurve des Randpunktes des zweiten Kreises ist eine Ellipse (Abb. 3).
Abb. 3: Ellipse
3 Nachweis der Ellipseneigenschaft
Der erste Kreis habe die Parameterdarstellung:
x1(t) = r1 cos(t)
y1(t) = r1 sin(t)
Der zweite Kreis habe die Parameterdarstellung:
x2(t) = r2 cos(–t)
y2(t) = r2 sin(–t)
Das Minuszeichen beim Parameter t garantiert die zum ersten Kreis gegenläufige Drehung. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, der Sinus aber eine ungerade Funktion, können wir auch schreiben:
x2(t) = r2 cos(t)
y2(t) = –r2 sin(t)
Für die Überlagerung der beiden Kreisbewegungen erhalten wir die Parameterdarstellung:
x(t) = x1(t) + x2(t) = r1 cos(t) + r2 cos(t) = (r1 + r2) cos(t)
y(t) = y1(t) + y2(t) = r1 sin(t) – r2 sin(t) = (r1 – r2) sin(t)
Diese Parameterdarstellung hat die Form der Parameterdarstellung der Ellipse:
x(t) = a cos(t)
y(t) = b sin(t)
Dabei ist die lange Halbachse a = r1 + r2 der Ellipse die Summe und die kurze Halbachse b = r1 – r2 der Ellipse die Differenz der beiden Kreisradien.
4 Vertauschen der beiden Kreise
Wir können die beiden Kreise vertauschen (Abb. 4). Gestalt und Durchlaufsinn der Ellipse bleiben erhalten.
Abb. 4: Vertauschte Kreise
5 Ellipsenzirkel
5.1 Kreuzschiene
Eine Strecke läuft mit beiden Enden auf einer Kreuzschiene (Abb. 5). Auf der Strecke ist ein roter Punkt markiert.
Abb. 5: Strecke und Kreuzschiene
5.2 Ellipse
Die Bahnkurve des roten Punktes ist eine Ellipse (Abb. 6).
Abb. 6: Ellipse
5.3 Link mit Kreisüberlagerung
Der Hintergrund dieses Ellipsenzirkels ist eine Kreisüberlagerung (Abb. 7). Der Mittelpunkt der Strecke läuft auf dem ersten Kreis.
Abb. 7: Kreisüberlagerung
5.4 Modifikation
In der Abbildung 6 überquert der Schreibpunkt (roter Punkt) mehrfach die Kreuzschiene. Dies kann mit folgender Modifikation umgangen werden (Abb. 8). Die Strecke wird verlängert und der Schreibpunkt außen angebracht.
Abb. 8: Schreibpunkt außen
Weblinks
Hans Walser: Ellipsenzirkel
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsenzirkel/Ellipsenzirkel.html
Hans Walser: Frans van Schooten
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Frans_van_Schooten/Frans_van_Schooten.html
Hans Walser: Parameterdarstellung der Ellipse