1 Worum es geht

Ellipsenzirkel von Frans van Schooten. Link mit der „Gärtnerkonstruktion“.

2 Beschreibung

2.1 Kreis

Wir beginnen mit zwei Punkten F₁ und F₂, den Brennpunkten der späteren Ellipse. Um F₂ zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius 2a, der Länge der langen Achse der späteren Ellipse. Auf dem Kreis wählen wir einen Punkt P (Abb. 1).

Abb. 1: Kreis

2.2 Rhombus

Zwischen F₁ und P spannen wir diagonal einen Rhombus F₁APB ein. Die Seitenlänge des Rhombus ist frei wählbar, muss aber genügend groß sein, damit der Rhombus für alle Positionen von P existiert.

Abb. 2: Rhombus

2.3 Diagonale

Wir zeichnen die Diagonale AB (Abb. 3).

Abb. 3: Diagonale

Die Diagonale AB verändert ihre Länge beim Umlauf von P. Sie kann mechanisch mit einem Gelenk in A und einem Gleitgelenk in B realisiert werden.

2.4 Ellipsenpunkt

Der Schnittpunkt C der Diagonalen AB mit der Strecke F₂P beschreibt die Ellipse (Abb. 4). Der Schnittpunkt C ist gleitend sowohl auf der Diagonalen AB wie auch auf der Strecke F₂P.

Abb. 4: Ellipse

Die Diagonale AB ist tangential an die Ellipse. Diese kann daher auch als Hüllkurve der Diagonalen AB gesehen werden (Abb. 5).

Abb. 5: Ellipse als Hüllkurve

3 Nachweis der Ellipsen-Eigenschaft

Wir wollen zeigen, dass die durch den Punkt C generierte Kurve wirklich eine Ellipse ist.

Da die Diagonale AB eine Symmetrieachse des Rhombus F₁APB ist, sind die beiden hellblauen Strecken F₁C und CP gleichlang (Abb. 6).

Abb. 6: Gleich lange Strecken

Die Summe der dunkelblauen Strecke F₂C und der hellblauen Strecke CP ist konstant, nämlich der Radius 2a des Kreises um F₂ (Abb. 7).

Abb. 7: Konstante Streckensumme

Damit ist aber auch die Summe der dunkelblauen Strecke F₂C und der hellblauen Strecke F₁C konstant (Abb. 8). Der Punkt C entspricht also einem Ellipsenpunkt bei der „Gärtnerkonstruktion“.

Abb. 8: Gärtnerkonstruktion

Die Tangentialeigenschaft der Diagonalen AB kann mit der Reflexionseigenschaft der Ellipse bewiesen werden.

4 Person

Frans van Schooten, 1615-1660, niederländischer Mathematiker

Weblinks

Mac Tutor Index of biographies of mathematicians

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schooten/

Hans Walser: Ellipsentangente und Herzkurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsentangente/Ellipsentangente.htm

Hans Walser: Ellipsenzirkel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsenzirkel/Ellipsenzirkel.html

Hans Walser: Van Schooten’s Theorem

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/van_Schooten/van_Schooten.htm