Hans Walser, [20250812]
Ellipsenüberlagerung
Anfrage: R. G.
1 Worum es geht
Frage der Überlagerung zweier durch Parameterdarstellung gegebener Kurven am Beispiel von Ellipsen.
2 Überlagerung
2.1 Die erste Ellipse
Wir beginnen mit einer Ellipse mit den Halbachsen a und b (Abb. 1 für a = 2 und b = 1 ).
Abb. 1: Erste Ellipse
Die Ellipse hat die Parameterdarstellung:
x = a cos(t)
y = b sin(t)
Der Umkreis der Ellipse (das ist der kleinste Kreis, in dem die Ellipse noch Platz hat) hat den Radius a und damit die Parameterdarstellung:
x = a cos(t)
y = a sin(t)
Der Inkreis der
Ellipse (das ist der größte Kreis, der in der Ellipse Platz hat) hat den Radius
b und damit die Parameterdarstellung:
x = b cos(t)
y = b sin(t)
Wir sehen, dass die Ellipse die x-Koordinate vom Umkreis und die y-Koordinate vom Inkreis hat. Geometrisch kann das mit der „Fahnenkonstruktion“ der Abbildung 1 illustriert werden. Der Laufpunkt der Ellipse ist beim rechten Winkel der Fahne. Der Parameter t ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Fahnenstange. Der Parameter t ist also in der Regel nicht der Polarwinkel des Laufpunktes der Ellipse.
2.2 Die zweite Ellipse
Die zweite Ellipse habe die Parameterdarstellung:
x = f a cos(t)
y = f b sin(t)
Ihre Halbachsen f a und f
b haben also dasselbe Verhältnis wie
die Halbachsen der ersten Ellipse. Die beiden Ellipsen sind ähnlich, im
Sonderfall f = 1 sogar kongruent.
Wenn wir nur die
zweite Ellipse zeichnen wollen, müssen wir mit der Parameterdarstellung am
Koordinatenursprung ansetzen. Der Mittelunkt der Ellipse ist dann der
Koordinatenursprung.
Wir setzen nun aber
den Mittelpunkt der zweiten Ellipse (grün in Abb. 2, f = 0.75 ) in den Laufpunkt der ersten
Ellipse.
Abb. 2:
Überlagerung der zweiten Ellipse
2.3 Überlagerungskurve
Der Laufpunkt der
zweiten Ellipse bewegt sich wegen der Überlagerung auf einer weiteren Kurve
(blau in Abb. 3).
Abb. 3:
Überlagerungskurve
Die
Parameterdarstellung der Überlagerungskurve finden wir durch Addition der Parameterdarstellungen
der beiden Ellipsen, also:
x = a cos(t) + f a cos(t)
y = b sin(t)
+ f b sin(t)
Dies kann umgeformt
werden zu:
x = a (1 + f) cos(t)
y = b (1 + f)
sin(t)
Dies ist aber die
Parameterdarstellung einer weiteren Ellipse. Sie hat die Halbachsen a(1
+ f) und b (1 + f) und ist daher ähnlich zu den beiden anderen
Ellipsen.
Die grüne Ellipse
ist im Laufpunkt tangential an die blaue.
2.4 Vertauschte Ellipsen
Wir können die beiden
Ellipsen vertauschen, so wie wir beim Addieren die beiden Summanden vertauschen
können. Die grüne Ellipse setzen wir am Koordinatenursprung an und die rote
Ellipse am Laufpunkt der grünen Ellipse. Das ergibt dieselbe Überlagerungskurve
(Abb. 4).
Abb. 4:
Vertauschte Ellipsen
2.5 Verdoppelungen
Für f = 1 erhalten wir als Überlagerung zweier
kongruenter Ellipsen eine längenmäßig doppelt so große Ellipse (Abb. 5) .
Abb. 5:
Längenmäßige Verdoppelung
Für eine
flächenmäßige Verdoppelung gegenüber der ersten Ellipse genügt es, f
= √2 – 1 ≈ 0.414 zu setzen (Abb. 6).
Abb. 6:
Flächenmäßige Verdoppelung
3
Aufstellen
der zweiten Ellipse
Wir stellen die
zweite Ellipse auf, setzen sie also ins Hochformat (Abb. 7).
Abb. 7:
Aufstellen der zweiten Ellipse
In der Parameterdarstellung
müssen wir die Rollen der beiden Halbachsen vertauschen:
x = f b cos(t)
y = f a sin(t)
Für die Überlagerungskurve
erhalten wir damit die Parameterdarstellung:
x = a cos(t) + f b cos(t)
y = b sin(t)
+ f a sin(t)
Diese
Parameterdarstellung kann umgeformt werden zu:
x = (a + f b)
cos(t)
y = (b + f a)
sin(t)
Dies ist die
Parameterdarstellung der Ellipse mit den Halbachsen a + f b und b
+ f a (Abb. 8). Die grüne und die
blaue Ellipse sind nicht mehr tangential.
Abb. 8: Überlagerungskurve
eine Ellipse
Im Sonderfall f = 1 , also bei zwei kongruenten
Ellipsen, ist die Überlagerungskurve ein Kreis mit dem Radius a + b (Abb. 9).
Abb. 9: Überlagerungskurve
ein Kreis
Weblinks
Hans Walser: Ellipse als Kreisüberlagerung
Hans Walser: Frans van Schooten
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Frans_van_Schooten/Frans_van_Schooten.html
Hans Walser: Ellipsenzirkel
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsenzirkel/Ellipsenzirkel.html
Hans Walser: Parameterdarstellung der Ellipse
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsenzirkel/Ellipsenzirkel.html