1 Problemstellung

Ein Gelenkviereck (Seitenlängen a, b, c, d) habe in einer partikulären, aber konvexen, Position A0, B0, C0, D0 einen Diagonalenschnittwinkel phi (Winkel A0SB0, S ist der Diagonalenschnittpunkt). Es sei phi ≠ Pi/2, wir haben also kein orthodiagonales Viereck.

Gibt es weitere Positionen mit demselben Diagonalenschnittwinkel phi?

2 Rechnerische Bearbeitung

Wir setzen den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in den Diagonalenschnittpunkt. Das Viereck A0B0C0D0 kann dann beschrieben werden:

A0 := [p0, 0]:

B0 := [q0*cos(phi), q0*sin(phi)]:

C0 := [-r0, 0]:

D0 := [-s0*cos(phi), -s0*sin(phi)]:

Für eine weitere Position mit demselben Diagonalenschnittwinkel phi und der Darstellung

A := [p, 0]:

B := [q*cos(phi), q*sin(phi)]:

C := [-r, 0]:

D := [-s*cos(phi), -s*sin(phi)]:

müssen die Seitenlängen gleich lang sein. Aus dem Kosinussatz ergibt sich die Bedingung:

p0^2 + q0^2 - 2*p0*q0*cos(phi) = p^2 + q^2 - 2*p*q*cos(phi),

q0^2 + r0^2 + 2*q0*r0*cos(phi) = q^2 + r^2 + 2*q*r*cos(phi),

r0^2 + s0^2 - 2*r0*s0*cos(phi) = r^2 + s^2 - 2*r*s*cos(phi),

s0^2 + p0^2 + 2*s0*p0*cos(phi) = s^2 + p^2 + 2*s*p*cos(phi),

p > 0, q > 0, r > 0, s > 0.

Wir haben also ein quadratisches Gleichungssystem in p, q, r, s.

3 Beispiel

Wir wählen

p0 := 2:

q0 := 1:

r0 := 3:

s0 := 4:

phi := Pi/3:

Das quadratisch Gleichungssystem hat die Lösung:

Die zweite Lösung sind die Eingangsdaten p0, q0, r0, s0. Die andere Lösung ist echt neu.

Die Abbildung 1 zeigt die beiden Lösungen. Das Viereck mit den Eingangsdaten ist grün, das neue Viereck ist rot gezeichnet.

Ein Bild, das Reihe, Diagramm enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 1: Beispiel

Bemerkungen

(1) Die beiden Vierecke haben denselben Flächeninhalt

(2) Für orthodiagonale Vierecke (phi = Pi/2) gilt die notwendige Bedingung: a² – b² + c² – d² = 0. Ist diese Bedingung erfüllt, gibt es unendliche viele Lösungen.

Weblinks

Hans Walser: Formel im Viereck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Formel_im_Viereck/Formel_im_Viereck.html

Hans Walser: Orthodiagonale Vierecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthodiag_Vierecke/Orthodiag_Vierecke.htm

Hans Walser: Orthodiagonale Diagonalen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthogonale_Diagonalen/Orthogonale_Diagonalen.htm