1 Worum es geht

Additive Spielereien im Pascal-Dreieck

2 Pascal-Dreieck

Die Abbildung 1 zeigt das Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten.

Abb. 1: Pascal-Dreieck

3 Hockey Stick Theorem

Die Summe der Zahlen in den gelben Feldern, welche sich in einer Schrägspalte des Pascal-Dreiecks befinden, ist gleich dem Element im roten Feld (Abb. 2). Die gelben Felder beginnen jeweils beim Dach des Pascal-Dreiecks.

Abb. 2: Hockey Stick

Das Hockey Stick Theorem wird oft auch als Christmas Stocking Theorem bezeichnet (Hilton, Peter / Holton, Derek / Pedersen, Jean (1998), p. 196). Es kann mit der Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten bewiesen werden.

4 Schrägspalten-Segmente

Wenn der Hockey Stick nicht bis zum Dach reicht, muss oben abgeschnitten werden. Dies kann wiederum mit dem Hockey Stick Theorem geschehen. Für die gelbe Summe wird das blaue Feld vom roten abgezählt (Abb. 3).

Abb. 3: Gelb = rot – blau

Dieses Vorgehen ist in vielen Integralformeln geläufig, etwa im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Der integrale Wert wird durch Werte am Rand ermittelt.

5 Parallelogramme

Die Figur mit den gelben Feldern (Abb. 4) kann als Parallelogramm oder als affines Bild eines Rechteckes gesehen werden. Es sind aufgestapelte Schrägspalten.

Abb. 4: Parallelogramm

Zur Berechnung der Summe in den gelben Feldern rechnen wir zunächst mal spaltenweise in der einen Richtung und summieren dann die Randwerte in der anderen Spaltenrichtung. Dies führt zur Situation der Abbildung 5.

Abb. 5: Gelb = rot – blau

Die benötigten Eckwerte können etwas symmetrischer dargestellt werden (Abb. 6).

Abb. 6: Symmetrische Anordnung der Eckwerte

Die Sache ist additiv (Abb. 7).

Abb. 7: Additivität

Weblinks

Hans Walser: Pascal-Dreiecke überlagern

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pascal-Dreiecke_ueberlagern2/Pascal-Dreiecke_ueberlagern2.html

Hans Walser: Pascal-Dreiecke überlagern

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pascal-Dreiecke_ueberlagern/Pascal-Dreiecke_ueberlagern.html

Hans Walser: Pascal und Fibonacci

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pascal_u_Fibonacci/Pascal_u_Fibonacci.htm

Literatur

Hilton, Peter / Holton, Derek / Pedersen, Jean (1998): Mathematical Reflections: In a Room with Many Mirrors. 2nd printing. New York: Springer 1998. ISBN 0-387-94770-1.

Hilton, Peter / Holton, Derek / Pedersen, Jean (2002): Mathematical Vistas: From a Room with Many Mirrors. New York: Springer 2002. ISBN 0-387-95064-8.

Hilton, Peter and Pedersen, Jean and Séquin Carlo H. (2012): Star Theorem Patterns Relation to 2n-gons in Pascal’s Triangle — and More. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 36, 209-232.

Krapf, Regula (2027): Kombinatorik auf vielen Wegen – Fibonacci-Zahlen, Binomialkoeffizienten und vielfältige Beweistechniken. Erscheint beim Springer-Verlag.

Pedersen, Jean und Walser, Hans (2016): Pascal, Fibonacci and geometry. Elem. Math. 71, 1-6.

Walser, Hans (2000): Pascal-Türme. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 53/1 (15.1.2000), S. 12 – 17

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.