Hans Walser, [20251022]

Quadrat fünfteln

1 Worum es geht

Zerlegungsgleichheit

2 Der Klassiker

In einem Quadrat zeichnen wir zyklisch von den Ecken aus Verbindungslinien zum Mittelpunkt einer nicht an die Ecke anschließenden Quadratseite (Abb. 1). So entsteht ein kleines Quadrat in der Mitte des Startquadrates.

Abb. 1: Kleines Quadrat in der Mitte

Die Aufgabe besteht nun darin, zu zeigen, dass der Flächeninhalt des kleinen Quadrates ein Fünftel des Flächeninhaltes des großen Quadrates ausmacht.

3 Zerlegungsbeweis

Für den Beweis modifizieren wir die Figur, indem wir die kurzen Verlängerungsstücke der Seiten des kleinen Quadrates weglassen (Abb. 2). Dadurch entstehen vier kongruente rechtwinklige Dreiecke.

Abb. 2: Vier rechtwinklige Dreiecke

Wenn nun das kleine Quadrat einen Fünftel der großen Quadratfläche ausmacht, machen die vier Dreiecksflächen zusammen die restlichen vier Fünftel aus. Ein einzelnes rechtwinkliges Dreieck muss somit flächengleich zum kleinen Quadrat sein. Dies kann mit einer einfachen gemeinsamen Zerlegung gezeigt werden (Abb. 3).

Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung

4 Modifikation der Figur

Wir verdrehen das kleine Quadrat und verlängern die Seiten windrädchenartig bis zum Rand des großen Quadrates (Abb. 4).

Abb. 4: Verdrehung des kleinen Quadrates

Wir erhalten vier kongruente unregelmäßige Vierecke, deren Flächeninhalt je gleich groß ist wie der Flächeninhalt des kleinen Quadrates.

5 Gemeinsame Zerlegung

Gesucht ist nun eine gemeinsame Zerlegung des kleinen Quadrates und eines der unregelmäßigen Vierecke.

Dazu verdrehen wir die Zerlegungsfigur der Abbildung 3 und hinterlegen den ursprünglichen, also nicht verdrehten Rand des großen Quadrates (Abb. 5).

Abb. 5: Verdrehte Zerlegung

Nun muss weg was vorsteht, und in die leere Ecke unten links im ursprünglichen Rand des großen Quadrates versorgt werden.

Zunächst schneiden wir das rote Dreieck am unteren Rand ab und führen die entsprechende Zerlegung im kleinen Quadrat durch (Abb. 6).

Abb. 6: Abschneiden des roten Dreiecks

Analog verfahren wir mit dem blauen Dreieck, welches am linken Rand vorsteht(Abb. 7).

Abb. 7: Abschneiden des blauen Dreiecks

Aus Symmetriegründen können wir das blaue Dreieck auch am unteren Rand neben dem roten platzieren (Abb. 8).

Abb. 8: Umplatzieren des blauen Dreiecks

Es geht jetzt noch darum, den Verbund des roten und des blauen Dreiecks am unteren Rand in die Ecke links unten des ursprünglichen Quadratrandes zu bringen.

Dies geschieht mit einer Spiegelung an der in der Abbildung 9 eingezeichneten Winkelhalbierenden. Bei dieser Geradenspiegelung wird die Orientierung des roten und des blauen Dreiecks umgekehrt.

Abb. 9: Geradenspiegelung

Nun entfernen wir alles außerhalb des Randes des ursprünglichen Quadrates (Abb. 10). Damit erhalten wir eine gemeinsame Zerlegung des kleinen Quadrates und des Viereckes. Die hellblauen und gelben Teile sind je gleich orientiert und haben parallele Seiten. Die roten und blauen Dreiecke sind ungleich orientiert.

Abb. 10: Gemeinsame Zerlegung

Durch Drehen um Vielfache von 90° können wir die Zerlegung des Viereckes in die drei anderen Vierecke übertragen (Abb. 11).

Abb. 11: Übertragung auf die anderen Vierecke

Die Abbildung 12 zeigt die Kinematik des Verdrehens.

Abb. 12: Kinematik

6 Sonderfälle

Das kleine Quadrat steht in einem Winkel von 45° zum großen Quadrat (Abb. 13).

Abb. 13: Kleines Quadrat auf Ecke

Das kleine Quadrat ist parallel zum großen (Abb. 14). Es erscheint der Goldene Schnitt.

Abb. 14: Kleines Quadrat parallel zum großen

Spiegelversion zur Ausgangslage (Abb. 15).

Abb. 15: Spiegelversion

Das rote und das blaue Dreieck haben eine Seite gemeinsam (Abb. 16).

Abb. 16: Gemeinsame Seitenlänge rot und blau

Weblinks

Hans Walser: Quadrat fünfteln

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrat_fuenfteln/Quadrat_fuenfteln.html

Hans Walser: Verdrehte Vielecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Verdrehte_Vielecke/Verdrehte_Vielecke.html

Hans Walser: Dreieck vierteln

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreieck_vierteln/Dreieck_vierteln.html