Hans Walser, [20260205]

Sehnensechsecke

1 Worum es geht

Kombinatorische Geometrie

Orientierte Flächeninhalte

Flächenvergleiche

2 Orientierter Flächeninhalt

Für den orientierten Flächeninhalt eines n-Eckes können wir rechnerisch vorgehen wie folgt. Die Eckpunkte werden von 1 bis n durchnummeriert. Sie haben die Koordinaten (x_i, y_i), i ∈ {1, 2, ... , n}.

Dann gilt für den orientierten Flächeninhalt A:

(1)

Dabei ist y_n+1 = y₁ und y₀ = y_n zu setzen (zyklisches Vorgehen). Herleitung der Formel hier.

Im Folgenden wird mit dem orientierten Flächeninhalt gearbeitet.

3 Konstruktion

Wir beginnen mit sechs gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilten Punkten (Abb. 0).

Abb. 0: Sechs Punkte

Wir fragen nun nach allen Sechsecken mit den sechs Ecken in genau diesen sechs Punkten.

4 Beispiele

In den folgenden Beispielen ist jeweils der orientierte Flächeninhalt gemäß (1) angegeben sowie der Vergleich mit dem Flächeninhalt des Hexagons. Die Vergleiche mit dem Flächeninhalt des Hexagons lassen sich als Vielfache von Sechsteln ausdrücken.

Der Autor hofft, dass er bis auf Drehungen, Spiegelungen und Änderung des Durchlaufsinns alle möglichen Fälle gefunden hat. Es gibt rein kombinatorisch 6! = 720 Möglichkeiten.

4.1 Regelmäßiges Sechseck. Hexagon

Das regelmäßige Sechseck (Hexagon, Abb. 1) hat den orientierten Flächeninhalt 3/2√3 ≈ 2.598.

Abb. 1: Hexagon

4.2 Fisch

Das Beispiel mit einer Überkreuzung des Randes wird als „Fisch“ bezeichnet (Abb. 2). Sein orientierter Flächeninhalt (man beachte, dass der Flächeninhalt des Fischschwanzes negativ ist) beträgt √3 ≈ 1.732.

Das Verhältnis Fischfläche : Hexagonfläche ist ⅔.

Abb. 2: Fisch

4.3 Beispiel 3

Das Beispiel der Abbildung 3 hat als einziges keine Symmetrie. Es kommt aber in den 720 Möglichkeiten recht oft vor.

Abb. 3

4.4 Beispiel 4

Im Beispiel der Abbildung 4 ist der eine Teil positiv umfahren, der andere negativ. Der orientierte Flächeninhalt ist daher null.

Abb. 4: Punktsymmetrisches Beispiel

4.5 Beispiel 5

Abb. 5

4.6 Beispiel 6

Abb. 6

4.7 Beispiel 7

Abb. 7

4.8 Beispiel 8

Abb. 8

4.9 Beispiel 9

Abb. 9

4.10 Beispiel 10

Abb. 10

4.11 Beispiel 11

Abb. 11

4.12 Beispiel 12

Abb. 12

4.13 Animation

Die Abbildung 13 zeigt die 120 Beispiele mit Startpunkt im obersten Punkt.

Abb. 13: 120 Beispiele

Weblinks

Hans Walser: Orientierter Flächeninhalt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orientierter_Flaecheninhalt/Orientierter_Flaecheninhalt.html

Hans Walser: Polygonfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Polygonflaeche/Polygonflaeche.htm

Hans Walser: Sehnenfünfecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenfuenfecke/Sehnenfuenfecke.html