1 Worum es geht

Dem Würfel soll ein Tetraeder einbeschrieben werden. Die Tetraederecken sollen auf den Seitenflächen (Rand eingeschlossen) des Würfels liegen.

2 Die Maximallösung

Die Maximallösung besteht darin, dass wir jede zweite Würfelecke zu einem Tetraeder verbinden. Dies kann auf zwei Arten geschehen (Abb. 1). Das Volumen des Tetraeders ist ein Drittel des Würfelvolumens.

Abb. 2: Maximallösungen

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen eine kleinere Lösung. Die Vergitterung illustriert, dass die Ecken des Tetraeders wirklich auf den Seitenflächen des Würfels liegen. Die Eckpunkte des Tetraeders haben rationale Koordinaten.

Der Autor vermutet, dass es sich hierbei um die Minimallösung handelt. Das Volumen des Tetraeders ist 9/64 des Würfelvolumens.

Abb. 2: Kleinere Lösung

Abb. 3: Kleinere Lösung, Variante

Die beiden kleinen Lösungen haben genau nebeneinander im Würfel Platz (Abb. 4 und Abb. 5). Die beiden Tetraeder sitzen so aufeinander, dass ein Davidstern entsteht.

Abb. 4: Zwei kleine Lösungen im Würfel

Abb. 5: Zwei kleine Lösungen im Würfel

3 Transformation

Wir können die vermutete Minimallösung in die Maximallösung überführen (Abb. 6). Dabei sind die Tetraeder auch in allen Zwischenstationen regelmäßig.

Außer in der Minimalsituation durchdringen sich die beiden Tetraeder. In der Maximalsituation bilden sie einen Keplerstern.

Abb. 6: Transformation

Die Bewegung kann so dargestellt werden, dass die Illusion einer fortlaufenden Drehung entsteht (Abb. 7).

Abb. 7: Rundherum

Die Bahnkurven der Tetraeder-Eckpunkte sind keine Viertelkreise, sondern Parabeln (Abb. 8).

Abb. 8: Parabeln

4 Überziehen

Beim Überziehen bleiben die Tetraeder nicht mehr ausschließlich im Würfel (Abb. 9).

Abb. 9: Überziehen

Weblinks

Hans Walser: Tetraeder im Würfel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tetraeder_im_Wuerfel3/Tetraeder_im_Wuerfel3.html

Hans Walser: Tetraeder im Würfel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tetraeder_im_Wuerfel2/Tetraeder_im_Wuerfel2.html

Hans Walser: Tetraeder im Würfel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tetraeder_im_Wuerfel/Tetraeder_im_Wuerfel.htm