Hans Walser, [20250714]

Viereck-Viertelung

Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Problemstellung

In einem allgemeinen Viereck wählen wir einen Punkt und verbinden diesen mit den Seitenmitten (Abb. 1). Dadurch wird das Viereck in vier Teilvierecke unterteilt.

Abb. 1: Unterteilung des Vierecks

Frage: Wo muss der Punkt im Viereck gewählt werden, damit die vier Teilvierecke flächengleich sind?

2 Satz von Brune

D. Brune (1841) gibt eine einfache Lösung für dieses Problem.

3 Bearbeitung

Im Folgenden ein alternativer Lösungsweg.

Ich zeige Schritt für Schritt den Konstruktionsvorgang zur Lösung und beweise nachher die Stimmigkeit des Verfahrens.

Zuerst zeichne ich den Diagonalenschnittpunkt (Abb. 2).

Abb. 2: Diagonalenschnittpunkt

Anschließend verbinde ich gegenüberliegende Seitenmitten und zeichne den Schnittpunkt der Verbindungsgeraden (Abb. 3). Dieser Punkt ist der Eckenschwerpunkt des Viereckes. Bemerkung: Im Viereck sind im Unterschied zum Dreieck der Eckenschwerpunkt und der Flächenschwerpunkt im Allgemeinen verschieden.

Abb. 3: Eckenschwerpunkt

Nun spiegle ich den Diagonalenschnittpunkt am Eckenschwerpunkt (Abb. 4).

Abb. 4: Spiegelung

Der Spiegelpunkt ist der gesuchte Punkt (Abb. 5).

Abb. 5: Die Lösung

4 Verifikation und formaler Beweis

4.1 Verifikation

Die Stimmigkeit der Konstruktion kann mit GeoGebra numerisch überprüft werden.

4.2 Geometrischer Beweis

In Hans Walser: Viereck-Viertelung findet sich ein einfacher geometrischer Beweis.

4.3 Formaler rechnerischer Beweis

In einem kartesischen Koordinatensystem verwende ich für die vier Eckpunkte des Viereckes die Schreibweise:

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Viereckes:

Für den gesuchten Punkt P erhalte ich die etwas umfangreiche Formel:

Und schließlich für die vier Teilvierecke:

Diese machen je einen Viertel der Fläche des Gesamtviereckes aus. Die Rechnungen habe ich mit CAS exekutiert.

5 Bemerkungen

5.1 Im Dreieck

Im allgemeinen Dreieck unterteile ich die drei Dreiecksseiten zyklisch je im gleichen Verhältnis. Nun verbinde ich den Schwerpunkt mit diesen Teilpunkten und erhalte so drei flächengleiche Vierecke (Abb. 6).

Abb. 6: Flächengleiche Vierecke

Als Sonderfall kann ich den Schwerpunkt mit den drei Ecken verbinden und erhalte so drei flächengleiche Dreiecke (Abb. 7).

Abb. 7: Sonderfall mit drei flächengleichen Dreiecken

Die Verbindungen des Schwerpunktes mit den Seitenmitten ergeben das Analogon zu meinem Viereckproblem (Abb. 8).

Abb. 8: Verbindungen mit den Seitenmitten

5.2 Gegenbeispiel im Viereck

In meinem Viereckproblem geht es nur mit den Seitenmitten. Die Abbildung 9 zeigt eine Gegenbeispiel mit Dreiecken.

Damit grün und gold denselben Flächeninhalt haben, muss der Punkt P auf der Symmetrieachse x = 0 liegen.

Damit rot und blau denselben Flächeninhalt haben, muss der Punkt P auf der Geraden y = 1 liegen.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P[0, 1].

Dann haben aber rot und blau den Flächeninhalt 4, hingegen grün und gold den Flächeninhalt 5.

Abb. 9: Gegenbeispiel

Zur Frage der Viertelung mit Dreiecken siehe hier.

6 Das Problem der Mitte

Der Lösungspunkt meines Viereckproblems kann mit einem gewissen Recht auch als „Mittelpunkt“ des Viereckes bezeichnet werden.

Damit habe ich vier Kandidaten für den Mittelpunkt eines Viereckes: Diagonalenschnittpunkt D, Eckenschwerpunkt E, Flächenschwerpunkt F und die Lösung P meines Problems im Viereck.

In der Abbildung 10 sind diese vier Punkte eingezeichnet.

Abb. 10: Die vier „Mittelpunkte“ des Vierecks

Die vier Punkte liegen auf einer Geraden. Die Punkte E und F unterteilen die Strecke DP im Verhältnis 3:1:2.

Bemerkung: Der Kantenschwerpunkt des Vierecks schert aus und liegt nicht auf dieser Geraden.

Weblinks

Hans Walser: Schwerpunkte im Viereck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schwerpunkte_Viereck/Schwerpunkte_Viereck.htm

Hans Walser: Viereck-Viertelung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viereck-Viertelung/Viereck-Viertelung.htm

Hans Walser: Viereck-Viertelung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viereck-Viertelung2/Viereck-Viertelung2.htm

Hans Walser: Viereck-Viertelung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viereck-Viertelung3/Viereck-Viertelung3.htm