Hans Walser, [20240521]

Collignon-Puzzle

1 Worum geht es?

Kartografisches Puzzle

2 Die drei Kartenausschnitte

Wir arbeiten mit den drei Kartenausschnitten der Abbildung 1.

Abb. 1: Die drei Kartenausschnitte

Die drei Kartenausschnitte decken zusammen die ganze Welt ab (Abb. 2).

Abb. 2: Ganze Welt

Wir stellen uns die Kontaktpunkte als Gelenke vor. Die Kartenausschnitte können wir auf verschiedene Arten zusammenklappen (Abb. 3). An den gemeinsamen Kanten gehen die Kartenausschnitte jeweils geografisch stimmig (konsistent) ineinander über.

Abb. 3: Gelenkmodell

3 Konsistente Kartenzusammensetzungen

Wir versuchen nun, mehrere Sätze von Kartenausschnitten der Abbildung 1 konsistent zusammenzusetzen.

Wir beginnen mit drei Kartenausschnitten (Abb. 4). Dies ist auch eine der beiden Endlagen des Gelenkmodells (Abb. 3).

Abb. 4: Drei Kartenausschnitte

Wir können nun einen weiteren Satz aus drei Kartenausschnitten konsistent anfügen (Abb. 5). Die drei neu angefügten Kartenausschnitte liegen in anderer Reihenfolge und Position als die drei ersten.

Abb. 5: Drei weitere Kartenausschnitte

Diese Zusammensetzung von sechs Kartenausschnitten kann nun als Basis für ein Bandornament dienen (Abb. 6).

Abb. 6: Bandornament

Die Abbildung 7.1 zeigt eine Treppe, bestehend aus zwei Sätzen von Kartenausschnitten.

Abb. 7.1: Treppe

Erst nach sechs Stufen (Abb. 7.2) haben wir den Ansatz für eine Bandornament (Abb. 7.3) erreicht.

Abb. 7.2: Sechs Stufen

Abb. 7.3: Bandornament

Die Abbildungen 8 und 9 zeigen zwei zirkuläre Anordnungen.

Abb. 8: Quadratische Anordnung

Abb. 9: Rechteckanordnung

4 Konstruktion der Kartenausschnitte

Wir zeigen exemplarisch die Konstruktion der mittleren der drei Kartenausschnitte der Abbildungen 1, 2, 3 und 4. Dieser Ausschnitt hat den Nullmeridian als eine der beiden Diagonalen.

Die Konstruktion basiert auf der Collignon-Projektion.

4.1 Collignon-Projektion

Wir beginnen mit der klassischen Collignon-Projektion (Abb. 10). Diese hat den Nullmeridian als Mittellinie. Die Karte ist in einer 15°-Rasterung gezeichnet.

Die Karte ist flächenverhältnistreu. Dies wird an den eingezeichneten orangen Verzerrungsellipsen sichtbar. Diese haben zwar unterschiedliche Formen, aber alle denselben Flächeninhalt. Der Äquator (blau in Abb. 10) teilt die Dreiecksfläche in zwei flächengleiche Teile. Der Abstand von der Spitze ist √(½) ≈ 70.71% der gesamten Dreieckshöhe.

Abb. 10: Collignon-Projektion

Die Abbildung 11 zeigt dieselbe Projektion, aber auf den Südpol fokussiert. Sie hat ebenfalls den Nullmeridian als Mittellinie.

Abb. 11: Fokussierung auf den Südpol

4.2 Zwei Hälften

Nun schneiden wir die beiden Karten am Äquator entzwei und fügen die beiden den jeweiligen Pol enthaltenden Teile zusammen (Abb. 12). Der Nullmeridian ist die senkrechte Mittellinie.

Die Verzerrungsellipsen werden nicht mehr gezeichnet.

Abb. 12: Zusammensetzung

4.3 Animation

Wir können einen anderen Meridian als Mittellinie wählen. In der Abbildung 13 wird der Mittellinien-Meridian schrittweise um 15° versetzt. Deshalb bleiben die Netzlinien scheinbar stabil. Es entsteht der Eindruck einer Drehung auf einem Doppelkegel.

Ein Bild, das Dreieck, Zeichnung, Origami, Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 13.1: Andere Mittellinien

Ein Bild, das Dreieck, Zeichnung, Origami, Design enthält.

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Abb. 13.2: Schneller

Ein Bild, das Dreieck, Zeichnung, Origami, Design enthält.

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Abb. 13.3: Noch schneller

4.4 Kartenausschnitt

Der von uns gewünschte Kartenausschnitt liegt zwischen den Meridianen 60°W und 60°E (Abb. 14).

Abb. 14: Kartenausschnitt

Der Kartenausschnitt ist also ein Rhombus. Durch Zusammendrücken in vertikaler Richtung erhalten wir den gesuchten quadratischen Kartenausschnitt (Abb. 15). Die Flächenverhältnisse bleiben dabei unverändert.