Hans Walser, [20240516]

Einstreifen-Welt

Anregung: Gunter Weiß, Wien

1 Worum es geht

Globus auf der Basis des Oktaeder-Knotens

Flechtmodell aus einem geradlinigen Streifen

2 Unregelmäßiges Oktaeder

Wir setzen acht rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke zu einem nicht regelmäßigen Oktaeder zusammen (Abb. 1 und 2).

Ein Bild, das gelb, Dreieck, Reihe, Farbigkeit enthält.

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Abb. 1: Oktaeder

Ein Bild, das gelb, Reihe, Farbigkeit, Dreieck enthält.

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Abb. 2: Verschiedene Sichten

Dieses Oktaeder hat acht kurze und vier lange Kanten. Eine lange Kante ist √2-mal so lang wie eine kurze Kante. Die kurzen Kanten sind Katheten der rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke, die langen Kanten Hypotenusen.

Wir bauen nun ein Flechtmodell für dieses Oktaeder.

3 Flechtmodell

Für das Flechtmodell genügt ein einziger Streifen (Abb. 3). Der Streifen besteht in der Theorie aus acht Quadraten, welche je eine diagonale Faltlinie haben.

In der Praxis geben wir zwei Quadrate dazu, die mit den ersten beiden zu „identifizieren“ sind. Ihre Überlagerung gibt dem Modell seine Stabilität. Weiter sind die Quadrate in der Praxis keine Quadrate, sondern etwa 3% weniger hoch als breit. Damit kann beim Flechten die Papierdicke berücksichtigt werden.

Abb. 3: Streifen für das Flechtmodell

Der Streifen wird ausgeschnitten und vorgefaltet.

Das Flechten geht wider Erwarten recht einfach. Es muss ein einziges Mal durchgeschlauft werden. Die Abbildung 4 zeigt das fertige Flechtmodell.

Ein Bild, das Gelände, Papierprodukt, draußen enthält.

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Abb. 4: Flechtmodell

4 Flechtstruktur

In der Abbildung 5 ist der Streifen in der Breite auf das mittlere Fünftel reduziert dargestellt. Damit wird die Flechtstruktur sichtbar. Aus didaktischen Gründen wird angenommen, dieser Indikator-Streifen sei außen gelb und innen hellblau.

Der Streifen kreuzt sich auf den vier langen Kanten des Oktaeders.

Abb. 5: Flechtstruktur

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die topologische Flechtstruktur.

Ein Bild, das Kreis enthält.

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Abb. 6: Flechtstruktur

Abb. 7: Flechtstruktur

5 Karten

Den Streifen der Abbildung 3 bestücken wir mit Kartenausschnitten (Abb. 8).

Abb. 8: Kartenausschnitte

Das entstehende Flechtmodell wird nun zu einem Globus (Abb. 9).

Ein Bild, das Gelände enthält.

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Abb. 9: Globus

Wir können die Lücken im Streifen mit vier weiteren Kartenausschnitten füllen. Die Abbildung 10 zeigt, wohin die einzelnen Kartenausschnitte versetzt und gedreht werden müssen. +90° bedeutet eine Drehung um 90° im positiven Drehsinn, also im Gegenuhrzeigersinn.

Abb. 10: Lücken füllen

Die eingefügten Karten passen konsistent, der Übergang zu den Nachbarkarten ist geografisch stimmig. Warum ist das so? Tipp: Die neu eingefügten Kartenausschnitte sind im Flechtmodell „unten“, also nicht sichtbar.

6 Kartografischer Hintergrund

6.1 Herstellung der Karten

Die Karten sind auf der Basis der Collignon-Projektion erstellt. Wir zeigen dies exemplarisch am Kartenausschnitt der Abbildung 11. Der Nullmeridian erscheint auf diesem Kartenausschnitt als Quadratdiagonale.

Abb. 11: Kartenausschnitt

Wir zeichnen eine Karte in der Collignon-Projektion mit der Spitze im Nordpol und dem zentralen Meridian 90°E (Abb. 12, Maschenweite 15°). Aus dieser Karte schneiden wir einen Sektor heraus, der links vom Nullmeridian, rechts vom Meridian 90°E und unten durch den Äquator begrenzt ist.

Abb. 12: Ausschnitt

Da die Collignon-Projektion flächenverhältnistreu ist, muss der Äquator unterhalb der Kartenmitte liegen. Von der Spitze her gesehen haben wir bis zum Äquator einen Anteil von ½ √2 ≈ 70.71%. Das Ausschnitt-Dreieck ist rechtwinklig, mit diesen Daten sogar rechtwinklig gleichschenklig. Sollte es nicht gleichschenklig sein, kann mit einer geeigneten Skalierung in Ost-West-Richtung justiert werden.

Nun zeichnen wir eine zweite Karte in der Collignon-Projektion, wieder mit der Spitze im Nordpol, aber dem zentralen Meridian 90°W (Abb. 13). Wir nehmen den Ausschnitt zwischen dem Meridian 90°W, dem Nullmeridian und dem Äquator.

Abb. 13: Zweiter Ausschnitt

Die beiden Ausschnittdreiecke haben den Nullmeridian als gemeinsame Hypotenuse. Wir können sie stimmig zum Quadrat zusammenfügen (Abb. 14). Dabei muss das zweite Dreieck um 90° im Uhrzeigersinn gedreht werden.

Abb. 14: Zusammenfügen zum Quadrat

Die drei anderen Kartenausschnitte der Abbildung 8 werden entsprechend erstellt. Für die Karten der Südhalbkugel muss die Spitze der Collignon-Projektion im Südpol liegen.

6.2 Collignon

Édouard Collignon (1831-1913) war ein französischer Ingenieur. Die nach ihm benannte Karte (Collignon-Projektion) veröffentlichte er 1865.

6.3 Singularität in den Polen

In den beiden Polen haben wir je eine Singularität (Abb. 15 für den Südpol). Die Übergänge von einem Kartenausschnitt auf den anschließenden Kartenausschnitt sind stimmig. Allerdings entspricht ein Umlauf um das Bild des Südpols einem doppelten Umlauf auf der Erdkugel. Und umgekehrt führt ein Umlauf um den Südpol auf der Erdkugel erst zu einem halben Umlauf auf der Kartenzusammensetzung der Abbildung 15.

Abb. 15: Doppelte Antarktis

Wir sehen also die Antarktis doppelt.

Zum Vergleich eine einfache Ansicht der Antarktis, ebenfalls in der Collignon-Projektion (Abb. 16).

Abb. 16: Antarktis

7 Schnittmuster

Das Schnittmuster der Abbildung 17 lässt sich auf ein DIN A4 Papier ausdrucken. Es enthält sieben Streifen, also für sieben Modelle. Allerdings sind die Modelle recht klein.