Hans Walser, [20240518]

Collignon-Puzzle

1 Worum es geht

Kartografisches Puzzle

2 Die vier Karten

Die Abbildung 1 zeigt die vier Puzzle-Karten. Zusammen decken sie die ganze Erde ab.

Die Karten sind flächenverhältnistreu (equivalent, equal-area projection). Sie zeigen die exakten Flächenverhältnisse auf der Erde. Die Formen werden verändert.

Abb. 1: Die vier Karten

Die Abbildung 2 illustriert, welche Erdkugelviertel durch die einzelnen Karten abgedeckt sind. Auf der Südhalbkugel sind die Karten gegenüber der Nordhalbkugel um 90° versetzt.

Ein Bild, das Farbigkeit, Kreis, Ball enthält.

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Abb. 2: Vier Viertel

3 Konsistente Anordnungen

Die Abbildung 3 zeigt eine konsistente Anordnung der vier Karten. Die Übergänge an den Quadratseiten sind geografisch stimmig.

Abb. 3: Konsistente Anordnung

Die Abbildung 4 zeigt eine konsistente lineare Anordnung.

Abb. 4: Lineare Anordnung im Querformat

4 Bandornamente

Mit einem zweiten Satz von vier Karten kann die lineare Anordnung der Abbildung 4 verlängert werden (Abb. 5). Die vier zusätzlichen Karten müssen allerdings in anderer Reihenfolge und Orientierung angesetzt werden.

Abb. 5: Verlängerung

Diese Anordnung von acht Karten kann nun zu einem Bandornament mit Translationssymmetrie erweitert werden (Abb. 6).

Abb. 6: Bandornament

Die Abbildung 7 gibt eine Treppenanordnung aus zwei Kartensätzen, welche zu einem Bandornament erweitert werden kann (Abb. 8).

Ein Bild, das Karte enthält.

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Abb. 7: Zwei Kartensätze

Ein Bild, das Muster, Kreative Künste enthält.

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Abb. 8: Bandornament

Die Abbildung 9 zeigt eine andere Treppenanordnung aus zwei Kartensätzen, welche ebenfalls zu einem Bandornament erweitert werden kann (Abb. 10).

Abb. 9: Treppe aus zwei Kartensätzen

Abb. 10: Bandornament

Die Abbildung 11 zeigt eine treppenförmige Anordnung von drei Sätzen zu je vier Karten. Sie kann zu einem Bandornament erweitert werden (Abb. 12).

Abb. 11: Treppe aus drei Kartensätzen

Abb. 12: Treppenförmiges Bandornament

5 Zyklische Anordnungen

Zwei Kartensätze können wir zu einer konsistenten zyklischen Anordnung auslegen (Abb. 13).

Abb. 13: Zyklische Anordnung mit zwei Kartensätzen

Wir suchen nun mit drei Kartensätzen, also insgesamt zwölf Karten, eine zyklische Anordnung gemäß dem Schema der Abbildung 14.

Abb. 14: Zyklische Anordnungsvorgabe

Der Autor hat dies nicht geschafft. Die Abbildung 15 zeigt einen gescheiterten Versuch.

Abb. 15: Gescheiterter Versuch

Hingegen geht es mit vier Kartensätzen (Abb. 16).

Abb. 16: Konsistente zyklische Anordnung mit vier Kartensätzen

Das Beispiel lässt sich sogar verlinken (Abb. 17). Die zweite zyklische Anordnung ist punktsymmetrisch zur ersten.

Abb. 17: Verlinkung

Die Verlinkung lässt sich zu einem Bandornament erweitern (Abb. 18).

Abb. 18: Bandornament

6 Raster

Die Abbildung 19 zeigt ein konsistentes Raster.

Abb. 19: Raster

7 Kartografischer Hintergrund

7.1 Herstellung der Karten

Die Karten sind auf der Basis der Collignon-Projektion erstellt. Wir zeigen dies exemplarisch für die erste Karte der Abbildung 1.

Wir zeichnen eine Karte in der Collignon-Projektion mit der Spitze im Nordpol und dem zentralen Meridian 90°E (Abb. 20, Maschenweite 15°). Aus dieser Karte schneiden wir einen Sektor heraus, der links vom Nullmeridian, rechts vom Meridian 90°E und unten durch den Äquator begrenzt ist.

Abb. 20: Ausschnitt

Da die Collignon-Projektion flächenverhältnistreu ist, muss der Äquator unterhalb der Kartenmitte liegen. Von der Spitze her gesehen haben wir bis zum Äquator einen Anteil von ½ √2 ≈ 70.71%. Das Ausschnitt-Dreieck ist rechtwinklig, mit diesen Daten sogar rechtwinklig gleichschenklig. Sollte es nicht gleichschenklig sein, kann mit einer geeigneten Skalierung in Ost-West-Richtung justiert werden.

Nun zeichnen wir eine zweite Karte in der Collignon-Projektion, wieder mit der Spitze im Nordpol, aber dem zentralen Meridian 90°W (Abb. 21). Wir nehmen den Ausschnitt zwischen dem Meridian 90°W, dem Nullmeridian und dem Äquator.

Abb. 21: Zweiter Ausschnitt

Die beiden Ausschnittdreiecke haben den Nullmeridian als gemeinsame Hypotenuse. Wir können sie stimmig zum Quadrat zusammenfügen (Abb. 22). Dabei muss das zweite Dreieck um 90° im Uhrzeigersinn gedreht werden.

Abb. 22: Zusammenfügen zum Quadrat

Die drei anderen Karten der Abbildung 1 werden entsprechend erstellt. Für die Karten der Südhalbkugel muss die Spitze der Collignon-Projektion im Südpol liegen. Weiter ist auf die Versetzung gemäß Abbildung 2 zu achten.

7.2 Collignon

Édouard Collignon (1831-1913) war ein französischer Ingenieur. Die nach ihm benannte Karte (Collignon-Projektion) veröffentlichte er 1865.

7.3 Singularität in den Polen

In den beiden Polen haben wir je eine Singularität (Abb. 23 für den Südpol). Die Übergänge von einer Karte auf die anschließende Karte sind stimmig. Allerdings entspricht ein Umlauf um das Bild des Südpols einem doppelten Umlauf auf der Erdkugel. Und umgekehrt führt ein Umlauf um den Südpol auf der Erdkugel erst zu einem halben Umlauf auf der Kartenzusammensetzung der Abbildung 23.