Hans Walser, [20260130]

Differenzenfolge

Anregung: Jo Niemeyer, Breitnau im Hochschwarzwald 

1 Worum es geht

Fortgesetztes Differenzenbilden

Visualisierung des Euklidischen Algorithmus

2 Die Folge

Wir arbeiten mit der Rekursion:

a_n = | a_{n – 1} – a_{n – 2} |

Es werden also die beiden vorhergehenden Zahlen voneinander subtrahiert, und zwar (dank der Betragsstriche) immer die kleinere Zahl von der größeren.

Es handelt sich um den Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Startwerte. Die letzte Zahl vor der Differenz null ist der größte gemeinsame Teiler.

3 Visualisierung

Die Visualisierung erfolgt durch Quadrate mit dem Flächeninhalt a_n. Die Differenzenbildung erfolgt mit dem Satz des Pythagoras.

4 Beispiele

Die Zahlen in den Quadraten geben den Flächeninhalt des betreffenden Quadrates an.

4.1 Beispiel 1

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 14 ergibt sich die Folge der Tabelle 1.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	14	Zweiter Startwert
3	11
4	3
5	8
6	5
7	3
8	2
9	1
10	1

Tab. 1: Zahlenfolge

Abb. 1: Beispiel 1

4.2 Beispiel 2

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 16 ergibt sich die Folge der Tabelle 2.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	16	Zweiter Startwert
3	9
4	7
5	2
6	5
7	3
8	2
9	1
10	1

Tab. 2: Zahlenfolge

Abb. 2: Beispiel 2

4.3 Beispiel 3

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 18 ergibt sich die Folge der Tabelle 3.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	18	Zweiter Startwert
3	7
4	11
5	4
6	7
7	3
8	4
9	1
10	3
11	2
12	1
13	1

Tab. 3: Zahlenfolge

Abb. 3: Beispiel 3

4.4 Beispiel 4

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 20 ergibt sich die Folge der Tabelle 4.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	20	Zweiter Startwert
3	5
4	15
5	10
6	5
7	5

Tab. 4: Zahlenfolge

Abb. 4: Beispiel 4

4.5 Beispiel 5

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 22 ergibt sich die Folge der Tabelle 5.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	22	Zweiter Startwert
3	3
4	19
5	16
6	3
7	13
8	10
9	3
10	7
11	4
12	3
13	1
14	2
15	1
16	1

Tab. 5: Zahlenfolge

Abb. 5: Beispiel 5

4.6 Beispiel 6

Mit den beiden Startwerten a₁ = 25 und a₂ = 2 ergibt sich die Folge der Tabelle 6.

n	an
1	25	Erster Startwert
2	2	Zweiter Startwert
3	23
4	21
5	2
6	19
7	17
8	2
9	15
10	13
11	2
12	11
13	9
14	2
15	7
16	5
17	2
18	3
19	1
20	2
21	1
22	1

Tab. 6: Zahlenfolge

Abb. 6: Beispiel 6

Weblinks

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge/Differenzenfolge.html

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge2/Differenzenfolge2.html

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge3/Differenzenfolge3.html

Hans Walser: Gestörte Fibonacci-Folge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gestoerte_Fibonacci-Folge/Gestoerte_Fibonacci-Folge.html