Hans Walser, [20260924]
Drei Sehnenvierecke
1 Worum es geht
Ausgehend von einem Sehnenviereck werden mit Winkelhalbierenden zwei weitere Sehnenvierecke konstruiert
Beziehungen zwischen den drei Sehnenvierecken
Orthodiagonale Sehnenvierecke
Eine Gerade durch vier Punkte
Bestandesaufnahme von Phänomenen, nur teilweise bewiesen
2 Sehnenviereck
Wir beginnen mit einem Sehnenviereck (grün in Abb. 1).
Abb. 1: Sehnenviereck
3 Orthogonale Winkelhalbierende
Wir schneiden gegenüberliegende Seiten und zeichnen die Winkelhalbierenden der dadurch entstehenden Winkel (rot in Abb. 2). Die beiden Winkelhalbierenden sind orthogonal, Beweis.
Abb. 2: Orthogonale Winkelhalbierende
4 Inneres und äußeres Sehnenviereck
Die inneren Winkelhalbierenden des grünen Sehnenvierecks bilden ein weiteres Sehnenviereck (gelb in Abb. 3). Beweis.
Abb. 3: Inneres Sehnenviereck
Die Eckpunkte des inneren Sehnenvierecks liegen auf den beiden roten Winkelhalbierenden. Dies kann mit Winkelhalbierenden in passenden Teildreiecken der Abbildung 3 gezeigt werden.
Das innere Sehnenviereck ist daher ein orthodiagonales Viereck.
Die äußeren Winkelhalbierenden des grünen Sehnenviereckes bilden ebenfalls ein Sehnenviereck (gelb in Abb. 4).
Abb. 4: Äußeres Sehnenviereck
Die Eckpunkte des äußeren Sehnenvierecks liegen ebenfalls auf den beiden roten Winkelhalbierenden. Es ist ebenfalls ein orthodiagonales Viereck.
Die beiden gelben Sehnenvierecke sind ungleichsinnig ähnlich. Sie können durch eine Spiegelung an der eher flach liegenden roten Winkelhalbierenden und eine anschließende Streckung vom roten Diagonalenschnittpunkt aus mit dem Längenverhältnisfaktor aufeinander abgebildet werden. Die beiden roten Winkelhalbierenden haben die Richtungen der beiden Eigenvektoren dieser Ähnlichkeitsabbildung. Die Eigenwerte sind entgegengesetzt gleich und betragsmäßig der Längenverhältnisfaktor.
5 Die Zentralgerade
Und nun kommt der Gag der Sache. Die Umkreismittelpunkte der drei Sehnenvierecke liegen äquidistant auf einer Geraden (Zentralgerade) (indigo in Abb. 5). Dafür habe ich keinen Beweis, ebensowenig für die folgenden Feststellungen. Diese sind aber numerisch validiert. Der schwarze Umkreismittelpunkt des grünen Sehnenviereckes liegt in der Mitte der Umkreismittelpunkte der beiden gelben Sehnenvierecke.
Abb. 5: Zentralgerade
6 Weitere Phänomene
Der Diagonalenschnittpunkt des grünen Sehnenvierecks liegt ebenfalls auf der Zentralgeraden (Abb. 6). Er liegt allerdings nicht im Äquidistanzraster der drei anderen Punkte (auch wenn die Zeichnung das suggeriert).
Abb. 6: Diagonalenschnittpunkt
Die beiden Winkelhalbierenden des Diagonalenschnittwinkels sind parallel zu den beiden roten Winkelhalbiernden (violett in Abb. 7).
Abb. 7: Parallele Winkelhalbierende
Die Eckenschwerpunkte der beiden gelben Sehnenvierecke liegen auf einer zur Zentralgeraden parallelen Geraden (Abb. 8). Der Eckenschwerpunkt des grünen Sehnenvierecks liegt nicht auf dieser Geraden.
Abb. 8: Eckenschwerpunkte
Wir finden ein weiteres Parallelenpaar in der Figur (Abb. 9).
Abb. 9: Weiteres Parallelenpaar
Weblinks
Hans Walser: Sehnenviereck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenviereck3/Sehnenviereck3.html
Hans Walser: Sehnenviereck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenviereck2/Sehnenviereck2.htm
Hans Walser: Orthodiagonale Vierecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthodiag_Vierecke/Orthodiag_Vierecke.htm
Hans Walser: Orthodiagonales Gelenkvierck
Hans Walser: Orthogonale Diagonalen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthogonale_Diagonalen/Orthogonale_Diagonalen.htm