Hans Walser, [20260904]
Sehnenviereck
1 Worum es geht
Orthogonalität im Sehnenviereck.
2 Konstruktion
Wir beginnen mit einem beliebigen Sehnenviereck (Abb. 1).
Abb. 1: Sehnenviereck
Wir verlängern gegenüberliegende Seiten bis zum Schnittpunkt und zeichnen die Winkelhalbierenden der Schnittwinkel (rot in Abb. 2).
Abb. 2: Winkelhalbierende gegenüberliegender Seiten
3 Vermutung
Wir vermuten: die beiden Winkelhalbierenden sind orthogonal.
4 Illustration
Abb. 3: Illustration
5 Beweis
Für den Beweis unserer Vermutung arbeiten wir mit den Bezeichnungen der Abbildung 4.
Da es sich um ein Sehnenviereck handelt, ist α + γ = 180° und β + δ = 180°.
Abb. 4: Beweisfigur
Zunächst ist:
μ = ½ (180° – β – γ)
ν = ½ (180° – γ – δ)
Für die Innenwinkelsumme im gelben Viereck gilt:
360° = λ + μ + (γ + α + γ) + ν
Daraus errechnet sich λ = 90°. Dies war zu zeigen.
6 Umkehrung
Wir beginnen mit zwei Winkeln, deren Symmetrieachsen senkrecht aufeinander stehen (Abb. 5). Wir möchten zeigen, dass das grüne Viereck ein Sehnenviereck ist.
Abb. 5: Ausgangslage für die Umkehrung
Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 6.
Abb. 6: Beweisfigur für die Umkehrung
Es ist wiederum:
μ
= ½ (180° – β – γ)
ν
= ½ (180° – γ – δ)
Für die Innenwinkelsumme im gelben Viereck
gilt:
360° = 90° + μ + (360° – α) + ν
360° = 90° + 90° – ½ β – ½ γ + 360° – α + 90° – ½ γ – ½ δ
–270° = – ½ (α + β + γ + δ) – ½ (α + γ)
Wegen α + β + γ + δ = 360° erhalten wir:
–270° = –180° – ½ (α + γ)
α + γ = 180°
Damit ist das grüne Viereck ein Sehnenviereck.
7 Satz von Mannheim
Ein Viereck hat genau dann einen Umkreis, wenn die Winkelhalbierenden der Schnittwinkel gegenüberliegender Seiten orthogonal sind.
Falls ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel ist, ist mit der Mittelparallelen zu arbeiten. Die Beispiele dazu sind das gleichschenklige Trapez, das Rechteck und das Quadrat.
8 Diagonalen
Die beiden Winkelhalbierenden des Diagonalenschnittwinkels passen ebenfalls ins Spiel (Abb. 7). Sie sind parallel zu den Winkelhalbierenden gegenüberliegender Seiten.
Abb. 7 Winkelhalbierende des Diagonalenschnittwinkels
Weblinks
Hans Walser: Alternierende Quadratsummen
Hans Walser: Alternierende Quadratsummen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Alternierende_Quadratsummen/Alternierende_Quadratsummen.htm
Hans Walser: Alternierende Summe von Abstandsquadraten
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Alternierende/Alternierende.htm
Hans Walser: Orthodiagonale Vierecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthodiag_Vierecke/Orthodiag_Vierecke.htm
Hans Walser: Orthodiagonales Gelenkviereck
Hans Walser: Orthogonale Diagonalen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthogonale_Diagonalen/Orthogonale_Diagonalen.htm
Hans Walser: Sehnenviereck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenviereck2/Sehnenviereck2.htm